Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Эта

брошюра

посвящена

гиперкомплексным

чис­

лам— обобщению

обычных

комплексных

чисел. В ней

рассказывается

о том, к чему

приводит

замена

одной

«мнимой

единицы» ('несколькими

мнимыми

единицами,

иначе

говоря,

рассказывается

о величинах

вида

а +

Ы +

cj...

В

частности,

книга

знакомит

читателя

с

замечательными примерами

гиперкомплексных

чи­

сел -*- кватернионами й октавами.

Эти

числа

играют

большую роль

в

различных

математических

вопросах.

Исай Львович

Кантор.

Александр

Самуилович

Солодовников

Г И П Е Р К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А

М.,

1973 г.,

144 стр. с нлл.

Р е д а к т о р

В. В.

Донченко

Т е х н . редактор

Е. Н. Земская

Корректоры О. А.

Бутусова,

А. Л.

Ипатова

Сдано в

набор

17/VI

1973 г.

Подписано

к печати

П/ХИ I973 г.

Бумага

84ХЮЗ'/1 3 ,

тип. № 2. Фнз. печ. л. 4,5.

Условн. печ. л . 7,56.

Уч.-иэд. л. 6,93.

Т и р а ж 60 030 экз. Т-19920. . Цена книги 22 коп. З а к а з

№ 671

рокая

система

комплексных

чисел.

Причина,

з а с т а в л я ю ­

щ а я

рассматривать

комплексные

числа,

связана

с

ре­

шением

квадратных

уравнений. Д е л о

в

том,

что

неко­

торые

квадратные

уравнения,

например,

* 2 + 1 = 0 ,

(1)

нельзя

решить,

ограничиваясь

только

действительными

числами

(не

существует

такого действительного

числа

а,

чтобы

а 2

было равно — 1 ) .

История

комплексных

чисел

начинается с

X V I

века.

Итальянские

математики

Д ж и р о л а м о

К а р д а н о и

Р а ­

фаэль

Бомбелли,

решая

квадратные

уравнения,

ввели

в

рассмотрение

символ

У— 1 — формальное

решение

уравнения

(1),

а т а к ж е в ы р а ж е н и я

ЪУ—

1 —

ф о р м а л ь ­

ные

решения

уравнений

лг2 +

62 =

0.

В ы р а ж е н и я

более

общего

вида

а + 6]/"—1 можно

р а с ­

сматривать

тогда

к а к формальные решения

уравнений

"(я — а ) 2 + & 2 = " 0 .

(2)

Впоследствии

в ы р а ж е н и я

а-\-ЬУ—I

стали

называться

сываться

а-\-Ы

(символ

г д л я

обозначения

У—1

ввел

Л . Эйлер

в

X V I I I в.). Этих

чисел

оказывается у ж е до ­

статочно

д л я решения

любого

квадратного

уравнения

(если

дискриминант квадратного

уравнения

неотрица­

телен,

то,

к а к

известно,

корни

такого

уравнения —

действительные числа, если

ж е

дискриминант

отрицате­

лен, то уравнение обязательно приводится к

виду ( 2 ) ) .

Итак,

комплексным

числом

называется

выражение

вида

а -\

Ы,

где а и b—действительные

— 1

числа, а символу i припи­

сывается

свойство i2 =

. Заметим, чго

среди ком­

тельные числа (они получаются при

b = 0),

а т а к ж е

все

«чисто мнимые» числа Ы (они получаются

при

а =

0).

Обозначая для краткости комплексное число одной

буквой

г,

будем д а л ь ш е писать

z = а + be.

Число

а

называется

действительной

частью,

а число

Ы — мнимой

частью

комплексного числа z;

сам

символ

i называют

«мнимой

единицей». Название,

«мнимая»

не

времен

( X V I — X V I I

вв.),

когда комплексные числа

счи­

тались чем-то нереальным й были окружены

ореолом

глубокой

таинственности.

Д л я

теперешней

математики

комплексные числа — вещь совершенно естественная

(не

более «мнимая», чем сами действительные

числа) .

2°. Действия над комплексными числами. Сложение,

вычитание

и умножение

комплексных

чисел

естественно

определить следующим

образом:

(а +

bi) +

(c +

di)

=

(a +

c) +

(b +

d)i,

(а +

bi) — (с +

di)

=

(а -

с) +

{b — d) I,

(а +

bi) (с +

di)

=

ас +

adi

+

bci

+ bdi2 =

=

(ас

— bd)

+ (ad + be) I

(определяя умножение,

мы

учли

тот

факт,

что

i2=—1),

Отметим попутно, что если в равенстве, определяю­

щем

умножение

комплексных

чисел,

положить

b =

0, то