Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

( А\0

\

f

А'\0

Л

(АА'\

0

V 0 I В

)

\

0

| В' j

\ 0

|

ВВ'

откуда видно, что данная алгебра

изоморфна прямой

сумме алгебры всех матриц порядка

р

и алгебры всех

матриц порядка

q.

Интересно отметить, что рассмотренная нами в на­

чале книги (см. §

2)

алгебра

двойных чисел изоморфна

элемента алгебры

s£:

1-Е

.

1

+Е

If

=

т=г- ,

1ч =

7=— .

Очевидно,

J/2

"

УЧ.

.2

.2

. .

=

l\,

*2>

=

Л

l[

1'2 =

*1*2

U .

К а ж д ы й элемент

a ^ s i

можно

однозначно

представить

в виде

суммы

«1*1

+

a2i2,

причем

для

произведения

двух

элементов

справедлива

формула

(a,t, + a2i2)

(6,i, +

b2i2)

=

afi^

+ a2b2i2.

Ставя -в соответствие элементу а

пару

чисел (ai, а2),

мы

видим

отсюда, что

алгебра

si

есть

п р я м а я

сумма

двух

алгебр SD (действительных чисел).

4. Полупростой

алгеброй

называется

прямая сумма

простых.

Так

как

прямая

сумма

однозначно

определяется

своими

слагаемыми,

то все

полупростые

ассоциативные

Например, л ю б а я полупростая

ассоциативная ал­

гебра над полем комплексных чисел

изоморфна алгебре

всех

«блочно-диагональных»

матриц

с

блоками

поряд­

ков ри

р2,

. . . ,ph по диагонали

(числа

ри

р2, . . . ,Pk фик­

сированы) .

В частности, при

k = 3

получаем

матрицы

тентной алгебры

в общем случае, т. е. без

условия

ассо­

циативности. Поэтому

необходимо

последнее добавление

о произвольном порядке перемножения.)

Подалгебра

некоторой алгебры

называется

нильпо­

тентной, если она, рассматриваема я как

самостоятель­

ная алгебра, является

нильпотентной.

ментов равно нулю) . Другой

пример — алгебра

с

базисом it, i2,

/3. и таблицей

умножения

остальные

iaL

равны

0.

Заметим, что нильпотентные алгебры в некотором

смысле противоположны по своим свойствам

полупро­

стым

алгебрам .

Например,

для

нильпотентной

алгебры

s$> некоторая

«степень»

s&h,

т. е. множество

произведе­

ний

каких

угодно

k

элементов

алгебры

s&,

состоит

из

одного

нуля

(в

этом

и

заключается

определение

нильпотентной

алгебры); между тем в случае

полупростой

алгебры

люба я степень совпадает со всей

алгеброй.

Нетрудно

доказать,

что

если

Ti

и

Т2 — два

нильпо-

тентных

идеала

произвольной

алгебры

то

их сумма

(т. е. совокупность

элементов

вида

Vi-\-v2,

где

f j e F i ,

v 2

^ T 2 )

есть

снова

нильпотентный

идеал. Отсюда легко

вывести, что среди всех нильпотентных идеалов

алгебры

s4-

существует максимальный,

т. е. такой,

который

со­

держи т все другие нильпотентные

идеалы.

Теперь мы можем сформулировать основную

теорему

в теории

ассоциативных

'алгебр.

Т е о р е м а В е д е р б е р н а .

В

произвольной

ассо­

циативной

алгебре

зФ

существует

полупростая

подалге­

бра

°U,

дополнительная

к

максимальному

нилыютент-

ному

идеалу

У.

к а ж д ы й элемент а^зФ

Другими словами,

однознач­

но представляется

в

виде

суммы

и + v,

где

первое

слагаемое

принадлежит полупростой

подалгебре

°и,

а

второе — максимальному

нильпотентниму идеалу

У;

тем

самым

элементу

а

однозначно

сопоставляется

пара

(u,v),

где

и^Ш,

к е 7 .

При

этом

д л я

произведения

любых двух элементов

алгебры зФ справедлива формула

( « 1 .

» , • ) ( « , ,

1>2) =

( « 1 « 2 ,

v)

(2)

где

v =

ttit>2 + ^ i K 2 +

Vi°2

е

У

(следует

учесть,

что

идеалом,

к а ж д о е

из

произведений

и

ViUZ

равно

О

(так

как

оно

должно принадлежать одновременно °U и

У), и формула д л я

умножения

принимает

вид

(а„ z » , ) ( « 2 .

v2) =

{ulu2,

v{v2).

В этом случае алгебра зФ является

прямым

произведе­

нием

алгебр

Ш и

У.

В

общем

ж е

случае

строение

ал­

гебры

зФ не

определяется целиком

строением

алгебр

°U

и У по отдельности, так

к а к элемент v в (2) зависит

не

только от vit

v2, но

еще

и от ui,

и2. Однако

все

ж е то

об­

можно

представить

множеством

пар (и, v),

где и про­

бегает

некоторую

полупростую

алгебру, a

v — нильпо-

теоремы неверно..

В первом .примере таблица умножения имеет

вид

е1е1 — е{ + е2,

е2е2 = 0,

е{е2

= е2, e 2 e i =

О-

Легко видеть, что элементы вида

ke2

образуют

одномер­

ный нильпотентный

идеал JP,

Этот

идеал максимален,

ство есть вся алгебра, а она

не является

нильпотентиой

(любая степень элемента е{

отлична от

н у л я ) .

Легко

проверить, что, кроме JT, не

существует

других

подал­

полнительной подалгебры

к

JC.

Вторая

алгебра

имеет такую таблицу

умножения:

ele[

= ei,

е2е2 — е2,

е 1 е 2 = е2 ,

е2 е1 = 0.

В этой

алгебре

вообще

нет нильпотентных идеалов.

Если бы

алгебра «удовлетворяла» теореме Ведерберна,

имеет места,

так как алгебра содержит идеал, состоящий

из элементов

вида ke2, второе т а к ж е невозможно,

по­

тому что этот идеал — единственный.

Результаты, полученные в теории ассоциативных

ал­

того, что утверждение теоремы Ведерберна

справедливо

д л я

других

классов

алгебр

(хотя д л я

всех

алгебр,

как

мы

только

что

видели, оно

не

может

быть

верным) и

в перечислении простых алгебр этих классов.

Было доказано

(М.- Ц о р н ) ,

что теорема

Ведерберна

обобщается

на

альтернативные

алгебры, т. е. на более

широкий класс

алгебр, чем

ассоциативные. З а м е т и м ,

что -

класс из

второго

получается — в

случае

поля комплекс­

ных ч и с е л — д о б а в л е н и е м

только

одной

алгебры

«комп­

лексных»

октав;

в случае

поля

действительных

чисел