ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
д о б а в л я е т ся несколько алгебр |
такого |
ж е типа, как |
||
октавы. |
|
|
|
|
Укажем еще два класса алгебр, д л я которых спра |
||||
ведлива |
теорема Ведерберна. |
Д л я этой |
цели |
возьмем |
любую |
ассоциативную алгебру |
зФ и на ее базе |
построим |
|
две новые алгебры зФ+ |
и зФ~, |
состоящие из тех ж е эле |
|||
ментов, со следующими |
законами умножения: |
||||
в |
зФ+ |
ааЬ |
= |
аЪ + |
Ъа, • |
в |
з4-~ |
a°b |
= |
ab— |
Ьа. |
В алгебре зФ+ умножение коммутативно и, как нетрудно проверить, выполняется тождество
|
|
|
|
(Ь2аа)оЬ |
= Ь2п{ааЬ); |
|
|
(3) |
|||
в алгебре зФ~ умножение антикоммутативно |
(т. е. а |
°&= |
|||||||||
= |
—Ь о а) |
в |
выполняется |
тождество |
|
|
|
||||
|
|
|
а о |
(6 о с) -}- Ь о (с о а) + |
с ° ( я 0 Ь) = 0. |
(4) |
|||||
|
Л ю б а я коммутативная |
алгебра, |
для |
которой |
спра |
||||||
ведливо |
(3), |
называется йордановой |
алгеброй |
(по |
имени |
||||||
немецкого |
физика |
П. Й о р д а н а ) ; |
л ю б а я антикоммутатив |
||||||||
ная |
алгебра, |
д л я |
которой |
справедливо |
(4), |
называется |
|||||
алгеброй |
Ли. |
Норвежский математик Софус Л и в |
конце |
||||||||
X I X века |
впервые |
рассмотрел |
алгебры, |
названные по |
|||||||
том его именем, в связи с теорией «непрерывных |
групп |
||||||||||
преобразований». |
В современной |
математике алгебры |
|||||||||
Л и играют важнейшую роль и находят приложение по
чти |
в к а ж д о м |
ее разделе . |
|
|
|
|
|||
|
Классификация простых йордановых алгебр была |
||||||||
получена |
американским |
математиком А. Албертом; |
им |
||||||
ж е |
была |
доказана |
справедливость |
теоремы |
Ведербер |
||||
на для йордановых алгебр. |
|
|
|
|
|||||
|
Основные теоремы о |
структуре |
алгебр Л и |
были |
по |
||||
лучены |
одним |
из |
крупнейших |
математиков |
XX |
века |
|||
Э. Картаном . |
И м была |
найдена |
в |
частности, |
классифи |
||||
кация простых алгебр Ли . Распространение теоремы Ве дерберна на алгебры Л и получил Э. Леви; при этом понятие нильпот'ентного идеала оказалось нужным за
менить |
на более |
широкое |
понятие разрешимого |
идеала. |
Р а м к и |
данной книжки не позволяют нам останавли |
|||
ваться |
подробнее |
на этих |
вопросах. |
|
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
3 |
||
Глава |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА |
|
|
|
|
|||||
|
§ |
1. |
Комплексные |
числа |
для чисел а + |
Ы |
|
5 |
|
|
§ |
2. |
Другие арпфметпкп |
|
9 |
||||
|
§ |
3. |
Кватернионы . . |
|
|
|
|
15- |
|
|
§ |
4. |
Кватернионы и векторная алгебра |
|
|
24 |
|||
|
§ |
5. |
Гиперкомплексные |
числа |
|
|
|
31 |
|
|
§ |
6. |
Процедура |
удвоения. Октавы |
|
|
. 3 6 |
||
|
§ |
7. |
Алгебры |
|
|
|
|
|
. 4 7 |
Глава |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
я-МЕРНЫЕ |
ВЕКТОРЫ |
|
|
|
|
|
|
||
|
§ |
8. |
л-мерное векторное |
пространство |
А п |
|
59 |
||
|
§ |
9. |
Базис пространства |
А п |
|
|
|
64 |
|
|
§ |
10. |
Подпространства |
|
|
|
|
71 |
|
|
-§ |
11. |
Лемма об однородной системе уравнений . . |
.' . |
74 |
||||
|
§ |
12. |
Скалярное |
произведение |
|
|
|
76 |
|
|
§ |
13. |
Ортонормированиый |
базис. Ортогональное преобра |
|
||||
|
|
|
зование |
|
|
|
|
|
83 |
Глава |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ АЛГЕБР |
|
|
|||||||
|
§ |
14. |
Изоморфные |
алгебры |
|
|
. |
91 |
|
|
§ |
15. |
Подалгебры |
|
|
|
|
|
94 |
|
§ |
16. |
Перевод «задачи, о сумме квадратов» на язык |
тео |
|
||||
|
|
|
рии алгебр. Нормированные |
алгебры |
|
95 |
|||
|
§ |
17. |
Нормированные алгебры с |
единицей. Теорема Гур- |
|
||||
|
|
|
вица |
|
|
|
|
|
99 |
§18. Способ построения любой нормированной алгебры и вытекающие из него следствия для задачи о сумме
|
|
квадратов |
108 |
§ |
19. |
Теорема Фробениуса |
..116 |
§ |
20. |
Коммутативные алгебры с делением ' |
129 |
Заключение |
|
135 |
|
