Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Действительно, если в

базисе &i, k2

имеем" р <

0,

то,

перейдя к базису kt,

—k2,

получим

новую

таблицу,

в

ко­

торой (3 >

0.

Аналогично,

если а <

0,

то,

умножив

пер­

вый

базисный

вектор на

— 1 , получим

таблицу,

в

кото­

рой

а > 0

(при этом

знак р не

меняется);

если

ж е

а =

0, то

это ж е

преобразование

позволяет

изменить

знак

у.

Подведем

итог. Д л я

каждой коммутативной

алгебры

ром таблица

умножения

имеет

вид

(1),

где

1)

a Y - p

2 = ± 1,

2)

Р > 0 ,

3)

а ^ О ,

причем если

а =

0, то

у ^

0.

бенных случаях (когда

р =

0

или

а =

у =

0)

таких ба­

зисов

будет

два,

но

таблица

(1)

для

них

будет

одна

и та

же .

Отсюда видно, что каждой алгебре s4- отвечает един­

ственная

таблица

(1) с указанными

выше

ограничения­

ми на

а,

р, у, т. е. алгебра

зФ изоморфна

одной

и

только

одной

алгебре

зФ(а,

р , у ) .

зФ(а,

р, у)

То,

что л ю б а я

алгебра

является

алгеброй

с делением,

следует

хотя

бы из

того

факта,

что к а ж д а я

т а к а я

алгебра имеет

вид

= А (и •

и о v

v),

где

преобразование

А

действует

по

формулам

А (&,) =

а&, +

р £ 2 ,

A (k2)

=

р*, +

yk2,

причем

ay—

Р2 =И= 0.

В

самом

деле, из

условия

у

ф

(эквивалентного

ау—р2

ф

0)

вытекает, что

Л(А:,)^=

ФкА(Ь2)

и

тем

самым

что векторы

A(k{)

и

A (k2)

об­

образования

А

существует обратное преобразование

А'1,

а отсюда,

в

свою, очередь — что алгебра

с умноже­

нием

u°v есть

алгебра с делением. Теорема

доказана .

Б о л ь ш а я

часть того, о чем

говорилось

в этой книжке,

относится к

первоначальному

этапу в

развитии тео­

бегло, о

некоторых дальнейших результатах

этой

теории.

._ Развитие

теории алгебр начинается с работы

В. Га­

тельным: они подготовили почву

д л я целой серии ра­

бот об ассоциативных алгебрах,

завершившейся дока­

всем не касались. Он

связан

с величинами а ь

а2,

ani

являющимися

коэффициентами в

выражении

<Mi +

a2i2+

. . .

+ anin

(1)

д л я

элементов

n-мерной

алгебры.

В

нашем

изложении

эти

величины

всегда

предполагались

действительными

числами. В этом случае принято на самом деле

говорить

об

алгебрах над полем

действительных

чисел.

Н а р я д у

с ними приходится

рассматривать и

другие

алгебры,

(1), где аи

а2,

ап — произвольные

комплексные

числа; такие

алгебры называются алгебрами

над

полем

комплексных

чисел.

Кроме поля действительных

и поля

комплексных чисел, имеется много других

полей *)

(на­

пример, поле рациональных чисел) и

соответственно

этому много других типов алгебр.

Многие результаты в теории алгебр очень сильно

меняются в зависимости

от того,

какому

полю

принад­

л е ж а т коэффициенты <Х\,

ап в

выражениях

(1),

т. е.

над • полем

действительных

чисел

существуют, как мы

знаем, три ассоциативные алгебры с делением

(и

беско­

нечное

множество

неассоциативиых алгебр такого р о д а ) ,

и в

то

ж е

время

имеется

только

одна

комплексная

алгебра

с делением.

Это — одномерная алгебра,

состоя­

щ а я

из

самых комплексных

чисел. Кроме нее

не

суще­

Введем теперь такие определения.

1. Идеалом

алгебры

s&

называется такое

подпро­

странство °U,

что

st><U a<U

и

<Us& с= <U.

Это означает,

что, каковы

бы

ни

были элементы

a ^ s t

и u^PU, оба произведения

аи

и иа

принадлежат <%1. Ина ­

любой элемент алгебры снова принадлежит

идеалу.

При этом два

крайних случая — когда

подпростран­

ство <U совпадает со всей алгеброй s4- и

когда

°U

со­

стоит

из единственного

элемента

0 — н е

принято

рас­

сматривать

как

идеалы

(впрочем,

иногда

говорят,

что

^ и

0 являются

несобственными

и д е а л а м и ) .

*)

Общее

определение поля таково.

Пусть S3 — некоторое

мно­

жество, объектов, над которыми можно

производить

две операции;

одну из них условно назовем сложением

и будем обозначать а + Ь,

другую назовем умножением

и обозначим

ab. Множество

3> назы­

нимо

вычитание

(иначе

говоря,

однозначно'

разрешимо

уравнение

а + х = Ь) и выполнимо

деление. Последнее

означает,

что

одно­

значно разрешимо уравнение ах =

6.

если а ф

0; здесь 0 обозначает

элемент множества !? такой, что

а +

0 =

а для всех а е ?

(суще­

ствование такого элемента нетрудно доказать).

Под словом «операция» в этом определении

подразумевается

любое

правило,

ставящее

каждым

двум

элементам

О Е

? И

элементов вида b£i в

алгебре

дуальных

чисел (т

е.

чисел а + bQ,

где Q2

=

0).

Другой

пример — подпрост­

ранство элементов

вида

а ( 1 + £ )

в

алгебре

двойных

чи­

сел (чисел а +

ЬЕ,

где

Е2

— 1).

про­

2. Алгебра,

не

и м е ю щ а я

идеалов, называется

стой.

Можно сказать, что понятие простой алгебры обоб­

щает понятие

алгебры

с делением. К а ж д а я

алгебра с де­

если

у алгебры есть идеал

то уравнение

их =

Ь,

где и принадлежит идеалу, а Ь

не принадлежит

ему, не

имеет

решения, поэтому т а к а я

алгебра не может быть

алгеброй с

делением.

В

конце

X I X века исследования, касавшиеся

теории

ассоциативных

алгебр (как

мы у ж е отмечали, сам

тер­

мин

«алгебра»

фактически

п о н и м а л с я ' к а к «ассоциатив­

ная

алгебра») .

В результате возникло довольно

ясное

симо тот ж е

результат получили

Г. Фробениус

и Э. К а р ­

там. Оказалось, что все простые

комплексные

ассоциа­

тивные

алгебры

с

точностью

до

изоморфизма -— это

полные

матричные

алгебры

произвольного

порядка п

(т. е. алгебры всех квадратных матриц порядка

п).

Более общую теорему, справедливую д л я алгебр над

произвольным

полем

доказал

в

1907

г. американский

'математик Д . Ведерберн: все

простые

ассоциативные

алгебры

над

полем

!? — это в точности

все

полные мат­

ричные

алгебры

с

элементами

из^ ассоциативной

алгеб­

ры с делением

над

SP.

состоят из трех

серий:

1)

алгебры

матриц

с элементами — действительными

числами;

2)

алгебры

матриц

с элементами — комплексными

тривать

как алгебры

над

полем

<£)), частным

случаем

(при п =

1) является

сама

алгебра

комплексных

чисел —

мнить, что

единственная

комплексная

алгебра

с деле­

н и е м — это

алгебра

самих

комплексных

чисел.

Таким образом,

все простые ассоциативные

алгебры

(а,, и2)

(где щ<=%1ь

и2^.Щ2)

со следующими законами сложения и умножения:

(и,, и2) +

(и\,

и'2) =

(ц, +

и\,

и2 + и'2),

(и,, иа)-(и\,

и'2) =

(и1и'1,

и2и'2).

Легко видеть,

что

элементы

вида

(«ь 0) образуют

на

<U\\ обозначим

ее

s£\.

Аналогично

элементы

вида

(0, и2)

образуют

подалгебру

s4-2y изоморфную Щ2.

Обе

указанные подалгебры

являются идеалами;

например,

для первой из них это следует из равенств

(и,,

о)(«{,

«0 =

( « , « ; , о),

(«;,

и0(«,,

о) =

( « ; « , , о).

Заметим,

что

подалгебры

s4-i и s4-%

являются

взаим­

но

дополнительными:

так

мы называем

две

подалгебры,

обладающие тем свойством, что любой

элемент алгебры

представляется,

и притом

единственным

образом, в

виде

a i

+ а2,

где

а ( е= s$u

«2 е

s42.

Аналогично прямой сумме двух алгебр

определяется

прямая

сумма любого числа

алгебр. Элементами прямой

суммы

алгебр °Ui,

Ш2, ...

flLh

являются всевозможные

наборы

(и,, и2,

.-,.,

uk)

(где

в , е ^ |

а

к

е е д .

•