ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 1
ствительными числами. Сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами:
2, 4" 2 2 = Z2 + 2,, |
(Z, + Z2 ) + Z3 = 2, + (2г + 2 3 ) , |
то ж е самое относится к умножению:
2[2г = 2 2 2 [ , |
( 2 [ 2 2 ) 2 3 = 2( ( 2 2 2 3 ) ; |
наконец, справедлив распределительный закон, устанав
ливающий |
связь |
между |
этими |
двумя |
действиями: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2i |
(Z2 + |
2 3 ) = 2 , 2 2 + 2,Z 3 . |
|
|
|
(3) |
|||
|
Проверим, например, справедливость |
равенства |
(3). |
|||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zl = al + bli, |
z2 |
= a2-\-b2i, |
z3 = a3 |
+ b3i. |
|
|||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Zi (zg + |
из) = |
(a, + |
((a2 + |
<h) + (b2 + |
6 3 ) 0 |
= |
|
|
||||||
= |
(ai |
{a2 + |
a3) — 6, (b2 + |
6 3 ) ) + |
(a,' {b2 + |
63) + |
61 ( a 2 + |
a3 )) |
||||||
2 , 2 2 |
+ |
2 , 2 3 |
= |
(a, + |
bti) (a2 |
+ |
6 2 /) |
+ (a, + |
|
(a3 + |
b3l) |
= |
||
= |
(a,a2 — b{b2 |
+ |
а^з — 6,63) |
+ |
(a,&2 + |
6 , a 2 |
+ |
a,b3 |
4- М з ) |
|||||
сравнивая |
результаты |
обоих |
вычислений, |
у б е ж д а е м с я |
||||||||||
в том, |
что |
они совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3°. Операция сопряжения. Остановимся |
теперь |
на |
|||||||||||
других свойствах |
системы |
комплексных |
чисел. |
|
|
|||||||||
|
К а ж д о м у комплексному |
числу |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z = |
a 4- Ы |
|
|
|
|
|
||
можно сопоставить другое комплексное число а — bi, которое называется сопряженным к z и обозначается z. Таким образом, по определению,
• |
z — a — bi. |
Легко убедиться, что справедливы формулы
2[ 4" 2 2 = |
2, 4" Z2 |
И |
|
2,Z 2 = = = |
2 ] 2 2 , |
иначе говоря, сопряженное к сумме равно сумме со пряженных и сопряженное к произведению равно про изведению сопряженных. Проверку этих формул мы предоставим читателю.
7
С к л а д ы в а я и п е р е м н о ж а я числа z - и z, находим
z + 2 — 2а
и
zz= а2 + Ь2,
т.е. сумма и произведение сопряженных комплексных
чисел |
всегда |
являются |
действительными |
числами. |
|
||||||
|
4°. Модуль комплексного |
числа. Тождество для двух |
|||||||||
, квадратов. |
Неотрицательное |
действительное |
число |
||||||||
Ya2-\-b2 |
называется модулем |
комплексного |
числа |
г и |
|||||||
обозначается |
\г\: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
zz = |
| z p . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
И з |
последнего равенства |
вытекает одно |
замечатель» |
|||||||
ное следствие. Пусть гх и z2— |
два комплексных |
числа, |
|||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
ад |
I 2 = ( а д ) ( а д ) = |
адад |
= zxzx |
- z2s2 |
= | z, |2 1 z2. |
f, |
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
[zxZif^zi^Zif- |
|
|
|
|
(4) |
||||
|
| z , z 2 l = |z , |
| | z 2 | . |
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, модуль |
произведения |
равен |
произведе |
|||||||
нию |
модулей. |
Это — чрезвычайно в а ж н о е |
свойство |
ком» |
|||||||
плексных чисел; в § 16 ему будет |
присвоено |
специаль |
|||||||||
ное |
название |
(свойство |
нормированности). |
А сейчас по |
|||||||
смотрим, как выглядит равенство (4) в подробной |
|||||||||||
записи.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
г, = щ + V » |
z i = а2 + Ъ21, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zxz2 = {аха2 — bxb2) + (а1 62 + -афх) i, |
|
|
|
||||||
и равенство |
(4), записанное |
с п р а в а " н а л е в о , |
принимает |
||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а2 |
+ Ь\) {а2 + Ъ\) = |
( а , а 2 |
- |
V 2 ) 2 |
+ ( « А + |
"А)2- |
|
• |
||
Получилось довольно любопытное тождество. Д о п у с к а я некоторую расплывчатость формулировки, его можно
прочитать так: произведение |
суммы |
двух |
квадратов |
на |
|||||||||||||||
сумму |
двух |
квадратов |
есть |
снова |
сумма |
|
двух |
квадратов. |
|||||||||||
|
Естественно возникает вопрос: существуют ли ана |
||||||||||||||||||
логичные |
тождества |
с |
большим |
числом |
квадратов? |
||||||||||||||
Вопрос, |
как |
мы |
д а л ь ш е |
увидим, |
совсем |
не |
простой; |
||||||||||||
в течение многих |
лет |
он |
з а н и м а л |
умы |
математиков . |
||||||||||||||
В |
настоящей |
книжке |
этому, |
вопросу |
|
отводится |
одно |
||||||||||||
из |
центральных |
мест. |
|
В |
§ 3 |
мы |
сформулируем |
его |
|||||||||||
более |
отчетливо, а в гл. 3 |
р а с с к а ж е м , |
как |
он |
решается . |
||||||||||||||
|
5°. |
Деление |
комплексных чисел. Д о |
сих |
пор мы |
со |
|||||||||||||
всем |
не |
касались |
|
вопроса |
о |
делении |
|
комплексных |
чи |
||||||||||
сел; поговорим |
об этом теперь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть |
z' |
и z — два |
комплексных |
числа, причем |
|
гфО. |
||||||||||||
Частное от деления z' на z есть, по |
определению, |
реше |
|||||||||||||||||
ние |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
zx |
= z\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
Умножив обе части уравнения на г, |
получим |
zzx—zz' |
|||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
| z |
|2 |
х — |
zz'\ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
если теперь умножить обе части на |
действительное |
|
чис |
||||||||||||||||
ло |
-j-jp-, |
то |
будем |
|
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
х = |
утр- 5 2 ' . |
|
|
|
|
|
- |
(7) |
||||
В том, что найденное значение х действительно |
удовлет |
||||||||||||||||||
воряет |
уравнению |
|
(6), |
легко |
убедиться |
непосредствен* |
|||||||||||||
ной |
проверкой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|||
Проиллюстрируем |
деление |
|
примером. |
Пусть |
- тре |
||||||||||||||
буется |
разделить |
z' |
= |
5 — i на 2 = |
2 — 3£. |
П о |
формула |
||||||||||||
(7)имеем
^=WTW |
(2 + 3 / |
) |
(5 - |
= T J ( 1 3 + 1 3 |
/ ) |
- 1 + |
L |
|
§ 2. Другие арифметики для чисел |
а + Ы |
|
|
|||||
1°. Постановка задачи. Итак, мы построили число |
||||||||
вую систему из в ы р а ж е н и й |
вида а + bi, |
определив |
сло |
|||||
жение и умножение |
таких в ы р а ж е н и й по |
ф о р м у л а м |
||||||
(а + |
Ы) + (с + |
di) =*(a |
+ c) + |
(b + |
d)i, |
(1) |
||
{а + |
Ы){с + di) |
= |
{ас - |
bd) + |
[ad + |
be) i. |
(2) |
|
9
Что касается формулы (1), то она представляется вполне естественной. Напротив, вид формулы (2) не
вызывает такого ощущения . Посмотрим, нельзя |
ли |
из |
||||
тех |
ж е выражений а + Ы |
получить |
достаточно |
разум |
||
ную числовую систему, сохранив правило сложения |
(1), |
|||||
но заменив (2) каким-либо |
новым' |
законом умножения. |
||||
Как мог бы выглядеть этот новый закон? В значи |
||||||
тельной мере это зависит от того, какими свойствами |
мы |
|||||
хотим наделить новое умножение. С к а ж е м , было бы |
не |
|||||
лепо |
ввести его формулой |
|
|
|
|
|
|
(а + Ы) • (с - f |
di) = ас- |
+ |
bdi, |
|
|
ибо тогда, например, при b — 0, d = 0 мы получили бы довольно странное равенство
|
|
|
|
|
|
а • с = |
ас2. |
|
|
|
|
|
|||
Укажем те требования, которые мы собираемся |
|||||||||||||||
предъявить |
к новому умножению: |
|
|
|
|
|
|||||||||
1) Умножение действительного числа а, рассматри |
|||||||||||||||
ваемого |
|
как |
элемент |
новой |
числовой |
системы |
|||||||||
(a = |
a-\-0i), |
|
на |
произвольное |
число г |
= |
b -f- ci |
д о л ж н о |
|||||||
д а в а т ь |
тот |
ж е результат, |
что |
и |
в |
случае |
комплексных |
||||||||
чисел, |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
{а + Oi) (b + |
ci) — |
ab-\- |
act |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b -f- ci) (a + |
00 |
= |
ab |
+ |
act- |
|
|
|
||
В частности, это означает, что |
д л я |
действительных |
|||||||||||||
чисел |
новое |
умножение |
д о л ж н о |
совпадать |
с - о б ы ч н ы м : |
||||||||||
|
|
|
|
|
(а + 00 |
{Ь + |
00 = |
ab + |
Oi. |
|
|
|
|||
Поскольку |
то |
ж е |
самое |
верно |
и |
в |
отношении сложения |
||||||||
(из |
(1) |
следует |
(а + |
Oi) + (Ь+Щ |
= |
(а + |
b) + |
0i), то |
|||||||
тем самым действительные числа включаются в новую
числовую |
систему с |
их естественной |
арифметикой. |
|||
|
2) |
Д о л ж н о выполняться |
равенство |
|
||
|
|
|
(az,) |
• (bz2) = |
{ab) • (z,z2 ), |
|
где |
а |
и |
b — любые |
действительные |
числа. Например, |
|
(2i) |
(3i) == |
6 Л |
|
|
|
|
10.