Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

скорость v = vx—ivv (i— У.—1) можно выразить через комплекс­

ный аргумент z= x + iy линейной зависимостью v = 2ez, причем линии тока ф= 2еху = const суть равнобочные гиперболы, для ко­ торых координатные оси служат асимптотами. Такое поле скоро­ стей минимизирует функционал Фа в классе кусочно-непрерыв­ ных функций, причем для меры принуждения здесь справедливо неравенство

Ф а>0, (а)

так как ускорение точек жидкости в этом случае, вообще говоря, отлично от нуля.

Однако, отвлекаясь от класса кусочно-непрерывных функций, можно построить еще одно решение:

v {х+у) = v ( x ±y = 0) =const.

Здесь линиями тока будут семейства прямых x±i/ —const и, сле­ довательно, через каждую точку будут проходить две взаимно перпендикулярные линии тока, т. е. каждая точка этой области будет особой, а следовательно, поле скоростей — «всюду разрыв­ ным».

Легко проверить, что такое течение, удовлетворяя граничным условиям, не противоречит уравнению связи для идеальной жид­ кости (divv=0). Действительно, так как вдоль каждой линии тока скорость постоянна, то количество жидкости, втекающей в произвольно выделенный элемент площади, равно количеству жидкости, вытекающей из этого элемента.

Остается выяснить, какое из двух кинематически возможных движений является динамически более «выгодным» с точки зрения наименьшего принуждения.

Нетрудно видеть, что во всей области D ускорения отсутст­ вуют, что (при отсутствии внешних массовых сил) приводит к «нулевому» принуждению, т. е.

Сравнивая (а) и (б), приходим к выводу, что второй тип дви­ жения доставляет минимизируемому функционалу меньшее зна­ чение, и, следовательно, именно этот тип движения имеет место в действительности. Практически такое движение можно наблю­ дать при достаточно больших скоростях, когда влияние вязкости становится незначительным.

Ясно, что дальнейшее расширение класса функций не приве­ дет в данном случае к новому решению, так как меньшим нуля исходный функционал Фа быть не может.

Итак, одной из возможных' интерпретаций «всюду разрывно­ го» поля скоростей является совмещение двух различных полей скоростей в одном и том же континууме, получающееся в резуль­ тате пересечения двух различных потоков. Единственным усло-

54

вием, ограничивающим возможные варианты «перемешивания» жидкости, является уравнение связи (в данном случае divv = 0).

Подчеркнем, что двузначность скорости здесь относится не к индивидуализированной точке жидкости, а к точке пространст­

Рассмотренный пример подтверждает возможность изучения неклассических течений идеальной жидкости посредством прямой минимизации принуждения. В то же время этот пример иллюст­ рирует возникновение «многозначности» скоростей во всех точ­ ках пространства.

4. Модель турбулентной вязкой жидкости. Для этой модели достаточно сохранить связи, имеющиеся в идеальной жидкости, т. е. условия (4), а в случае несжимаемой жидкости.— условие div v^2 0, т. е. o£divv = 0 при divv = 0. Однако для учета диссипа­

энергии Э,- недетерминированных составляющих поля скоростей в тепло, причем х — коэффициент, отражающий турбулентную вязкость. Минимизация (3) с учетом сил F / в классе функций, удовлетворяющих связям, дает возможность изучать турбулент­ ное движение.

Таким образом, внутренние силы в турбулентной вязкой жид­ кости не образуют тензора напряжений; они представимы в ви­ де многозначного силового поля, в каждой точке которого зада­ на функция F / (g).

5. Уравнения движения нити. Эти уравнения получаются из

плотность нити, отнесенная к дуговой координате ф (см. гл. I, §4, п. 1). Замкнутость уравнений движения следует из того, что, рассматривая (2—9) совместно с кинематическими соот­ ношениями (I—4—3) и (I—4—4), (I—4—2) и уравнением состоя­ ния Т = ср (/), приходим к системе одиннадцати уравнений с част­ ными производными относительно одиннадцати величин Т, Пз, £2ь ©ь. со2, соз, 0 1 °, г>2°, V 3° , f, и\ если нить нерастяжима, то f —1, и = const, и исключаются из рассмотрения уравнения (I—4—2) и

Т= Ч>(/)•

Становимся на модели гибкого шланга, т. е. тонкой (одно­ мерной) трубочки, внутри которой протекает идеальная несжи­ маемая жидкость с заданной скоростью. В этом случае в силы

55

где и' — скорость жидкости по отношению к шлангу, г| — отно­ шение массы жидкости к массе шланга с жидкостью. В более общем случае, когда идеальная жидкость сжимаема и скорость ее и' заранее неизвестна, для получения уравнений движения будем исходить из (2—1), включая в F силы инерции. Тогда

= 8гп*’ = 8гп*, 8гь*' = 8гьг = 8гь*, то (7) можно переписать в ви­ де

I [(/У + F \) 8г*' + ( / у + Fn") Ьг* + (F b + Fb") 8г * +

+ F ".{brf — br* '))d l= 0 .

Отсюда следуют уравнения движения

рость шланга, v° = v° (гр, t), Т — натяжение трубочки, р — давление жидкости, и, и' — продольные скорости трубочки и жидкости.

В уравнениях движения гибкого шланга фигурируют допол­ нительные переменные р', и', р и добавляется лишь одно уравне­ ние (9). Для замыкания системы следует учесть уравнение со­ стояния ср (р, р') =0 и, кроме того, соотношения

6.Уравнения движения пленки. К уравнениям движения пле

56

(2—6) с учетом уравнений состояния и равенств 7’гз= Гз*=0. Привлечение кинематических соотношений совместности переме­ щений и поворотов (I—4—17), (I—4—18) замыкает . систему уравнений движения.

В случае вязкожидкой пленки к соответствующим уравнени­ ям равновесия добавляются Dev Т, силы инерции (см. I—4—29)

и. используются кинематические соотношения (I—4—25), (I—4— 26) и уравнения состояния, которые замыкают систему.

Уравнения движения идеально жидкой пленки не могут быть получены добавлением сил инерции в уравнения равновесия, так как ввиду недетерминированности сопутствующей системы коор­ динат здесь появляются недетерминированные составляющие поля скоростей (см. гл. I, § 4, п. 3). Используя прием, изложен­ ный выше для модели идеальной жидкости, придем к выраже­ нию (II—3—10), в котором скорости и и их производные явля­ ются многозначными, т. е. зависят от параметра | (0^ £ ^ 1).

Рассмотрим двумерную аналогию гибкого шланга, т. е. плен­ ку, «внутри» которой протекает жидкость. Моделью такого тела может служить, например, тонкая надувная оболочка.

Используя метод, примененный для гибкого шланга, и прене­ брегая пульсациями жидкости, придем к уравнениям движения

Р 4 г + р' W (v° + = div 7* — Srad р* + р + F"’

причем 7’* = р77р+р/, р* = р'р/р + р'. Здесь р, р' — плотности пленки и жидкости, отнесенные к единице площади в полугеодезической системе координат, v° — переносная скорость точек в их движении вместе с пленкой и

где и («1, ц2) — скорость движения точек пленки по поверхности, ис — скорость движения центров масс элементарных площадей

В уравнениях движения рассматриваемого тела фигурируют девять дополнительных переменных р', «</’>, мс(2), р, v°, и и добав­ ляются лишь пять уравнений (11). Для замыкания системы сле­ дует учесть уравнение состояния ср (р, р') =0 и, кроме того, при­

57

нять во внимание, что р det C ^const, (dA'/dt) -ei = (ди/дг') •A '-eь

Здесь А', С' — аффиноры, определяющие деформацию пленки (см. гл. I, § 4, п. 2), г' — двумерный радиус-вектор, касательный

кповерхности пленки.

7.Уравнения движения составных тел. Уравнения движен твердоволокнистого тела получаются добавлением сил инерции

(гл. I, § 5, п. 2)

в уравнения равновесия (2—6) с учетом уравнений состояния и неравенства в (2—12).

Уравнения движения замыкаются путем привлечения кинема­ тических соотношений совместности (I—5—6), (I—5—8), (I— 5—9).

Уравнения движения вязковолокнистого тела при условии не­ равенства в (2—12) получаются добавлением сил инерции (см.

гл. I, § 5, п. 2)

в уравнения равновесия (2—6). Уравнения движения замыка­ ются добавлением кинематических соотношений (I—5—6), (1—5—8), (I—5—9) и уравнений состояния Т'ц = фгн (C'22l С'2з,

С'зз) (i,/ = 2, 3).

Уравнения движения идеально волокнистого тела, как и урав­ нения движения волокнистых тел, при точном равенстве в (2—12) не могут быть записаны в форме дифференциальных уравнений ввиду отсутствия производных d2r/di|)id\pi (i = 2, 3). Движение в этих случаях может исследоваться только непосред­

Система замыкается присоединением кинематических соотноше­ ний совместности (I—5—18) для скорости.v° и соотношений для и, записывающихся так же, как для индивидуальной пленки (см.

шении условия (2—8) уравнения равновесия идеально сыпучей среды теряют смысл, и те области среды, в которых произошло это нарушение, приходят в движение. Будем считать, что в дви­

58