Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
жущейся идеально сыпучей среде из всех связей остается лишь связь, свойственная идеальной жидкости, т. е. divv^O .
Тогда уравнения движения сплошной, среды должны отыски ваться минимизацией функционала (1—7) в классе функций, удовлетворяющих связи divv^O , т. е. Sdivv = 0 при divv= 0. Однако для учета диссипации энергии Эг, как и в случае турбу
лентной вязкой жидкости, в |
(3) и (5) следует ввести дополни |
тельные силы Fr= —k'V t/vt, |
причем коэффициент у! отражает |
свойства сухого трения. Если в силу полученных уравнений дви жения в некоторых областях окажется, что v — О, то для них сле дует использовать уравнения равновесия (см. § 2, п. 5).
§ 4. «Силовая» формулировка принципа наименьшего принуждения
Опираясь на дифференциальные уравнения движения сплош ных сред, полученные в предыдущем параграфе, можно дать «силовую» формулировку принципа наименьшего принуждения: в каждый момент времени среди всех движений, обусловленных связями, действительными будут те, которые минимизируют функционал
|
(/?> |
|
|
Фг = |
J |
[ div T \d V |
(11-4—1) |
|
v |
|
|
в классе трижды дифференцируемых функций |
г (г0, t). Такая |
||
формулировка, однако, |
эквивалентна исходной «геометриче |
||
ской» формулировке, данной в § 1, лишь при условии существо вания связей, порождающих тензор напряжений Т соответствую щего типа; другими словами, эта формулировка может исполь зоваться при исследовании движения тех сплошных сред, для ко торых справедливы классические дифференциальные уравнения динамики, а следовательно, существует тензор Т. Но поскольку равновесие любых сплошных сред описывается дифференциаль ными уравнениями при существовании тензора Т (см. § 2), то равновесие любой сплошной среды может изучаться путем мини мизации функционала (1) в классе трижды дифференцируемых функций г (г0).
§5. К вопросу о существовании
иединственности решения задач механики сплошной среды
Вклассическом варианте механики сплошной среды фунда ментальную роль играют вопросы существования и единственно сти решения соответствующей системы уравнений с частными производными. Следует сразу же подчеркнуть, что эти вопросы
59
тесно связаны с тем классом функций, в котором отыскивается решение. Действительно, искусственное сужение класса функций может привести к отсутствию решения, а расширение класса функций — к появлению нескольких решений. Острота проблемы существования и единственности решения задач классической механики, по-видимому, связана с тем, что математические огра ничения, накладываемые на класс функций, в котором отыскива ется решение, не всегда согласованы с теми физическими требо ваниями, которые предъявляются к соответствующей модели среды.
В предлагаемом варианте механики сплошной среды пробле ма существования и единственности решения представляется не сколько по-иному.
Прежде всего в формулировке принципа наименьшего при нуждения следует отказаться от требования минимума функцио нала (1—7) в классическом смысле, так как, вообще говоря, мо жет не существовать первых производных от скорости или уско рения по координатам, а следовательно, и вторых вариаций от функционала. Поэтому под наименьшим принуждением следует понимать точную нижнюю границу того множества значений, ко торое может принимать функционал (1—7) в исходном классе функций при соответствующих граничных условиях.
Существование точной нижней границы сомнений не вызыва ет, так как функционал снизу ограничен нулем. Однако не ис ключено, что точная нижняя граница не принадлежит множест ву значений функционала (если, например, это множество от крытое). Следовательно, необходимым и достаточным условием существования решения задачи механики сплошной среды явля ется замкнутость снизу множества значений функционала (1— 7) в классе функций, определяемом выбранной моделью среды, с учетом заданных граничных условий.
Но может представиться случай, когда несколько различных решений доставляют функционалу одно и то же наименьшее зна чение. В этом случае теряется единственность решения.
При отсутствии существования или единственности решения следует, по-видимому, подвергнуть коррекции исходную модель среды.
Глава III
Границы применимости дифференциальных уравнений движения сплошных сред
§ 1. Вводные замечания и определения
Как следует из результатов предыдущей главы, движение та ких сплошных сред, как твердое тело, пленка, нить, ламинарная вязкая жидкость, может исследоваться с помощью минимизации функционала (II—4—1), при этом в силу принципа освобождае мое™ от связей каждая связь порождает тензор напряжений со ответствующего типа; но в силу тех или иных уравнений состоя ния тензор напряжений в свою очередь оказывается зависимым от параметров, характеризующих связь. Таким образом, возни кает схема
С-^срДГ), Т -+ Ъ {С), т. е. Ф(С)-*0. (III—1—1)
Здесь С — символ связи, Т-—тензор напряжений. Спрашивается, будет ли иметь единственное «решение» символическое уравне ние (1)? При положительном ответе на поставленный вопрос можно говорить об устойчивости структуры сплошной среды, т. е. об устойчивости ее связей, в противном случае следует счи тать структуру сплошной среды неустойчивой. Другими словами, речь идет о том, насколько согласованы область задания урав нения состояния и область соответствия между типом связи .и типом тензора напряжений. Эти наводящие соображения дают основание для следующего определения: под областью структур ной неустойчивости понимается та область параметров сплошной среды, при которой в силу уравнений состояния исходные связи становятся недетерминированными, т. е. разрывными в любой бесконечно малой окрестности каждой точки соответствующей области среды; при. этом «решение» символического уравнения
(1) в классе детерминированных связей заданного типа отсутст вует.
Дадим математическое определение неустойчивости струк
туры сплошной среды. Пусть произвольное состояние сплошной |
|||
среды характеризуется уравнениями |
Gij = Gij |
(q\, q^, qz, 0 , |
где |
в качестве Gij могут фигурировать, |
например, |
компоненты |
мет |
рического тензора |
G, а уравнение связи для |
соответствующей |
среды имеет вид |
б? Gij=0\ q\,q%qz— сопутствующие коорди |
|
наты, введенные в сплошной среде. Положим |
далее, что уравне |
|
61
ния G°ij = G°ij (<7i, qz, <73, t) |
определяют невозмущенное состояние |
||||
этой среды. |
|
|
|
|
потребовав, |
Рассмотрим малые возмущения AGij = Gij— |
|||||
чтобы эти возмущения |
удовлетворяли граничным |
условиям. |
|||
Пусть в некоторой области D (0^ q i^ q i* , |
|
имеют ме |
|||
сто неравенства |
|
|
|
|
|
дтЛG, |
|
|
|
|
|
max dqkidqjm-k |
< brn |
1), |
max I AGy |,=0 < V, |
(III—1—2) |
|
где п — размерность среды. Будем |
считать |
структуру сплошной |
|||
среды неустойчивой в области D, если |
|
|
|||
|
|
со при v->0. |
|
(Ill—1—3) |
|
Нетрудно видеть, |
что выполнение условий |
(3) приводит к нару |
|||
шению непрерывной зависимости между начальными отклоне ниями производных от определяющих функций Gij и последую щими значениями этих производных в процессе невозмущенно го движения; при этом нарушение такой непрерывности сопро вождается «выходом» производных dmG/dqjh dqim~h из класса ку сочно-непрерывных функций, что связано с разрушением исход ных детерминированных связей.
Заметим, что введенная здесь неустойчивость предполагает выполнение соотношений (3) при t<J*, причем t* может быть сколь угодно мало. С математической точки зрения эта неустой чивость соответствует некорректности математической постанов ки соответствующей динамической задачи в классе кусочно-не прерывных функций.
§ 2. Вывод достаточных критериев неустойчивости структуры сплошной среды1
1. Основная теорема. Рассмотрим произвольную систему урав нений с постоянными коэффициентами
ди |
, |
ди . , |
п |
|
|
dt |
+ а}'Щ + Ьи — 0, |
|
(III—2 -1 ) |
||
|
|
|
. |
. . а>1л' |
|
и,— |
|
a j= \ |
|
|
|
Пусть начальные условия имеют вид |
,aJл! |
аз |
|
||
|
|
|
|||
и°/я= _ Х^ехр (—Х0<Ы), |
хо > 0 |
(i = Y |
— 1), |
u °j = 0 |
(ш—2—2) |
(У — 1, 2,.. ., пфт) при t = 0, 0<!)»,, ф2, <Ьз<4>*-
Будем полагать, что соотношения (2) удовлетворяют граничным условиям уравнений (1). Отвлекаясь от конкретного вида этих
62
граничных условий, положим, что ряд соответствующих собст венных чисел Яо(1), У 2>,... не ограничен сверху.
Решение системы (1) может быть записано в виде
tt.j= Y 1 (A,ftexpX0(X,; t — ф,)г |
(у = |
1, 2, . . . , п). |
(III—2—3) |
||
|
*=i |
1 |
|
|
|
Здесь |
— корни характеристического уравнения |
|
|||
|
|
det (х8гу — а1и — |
) = |
О, |
(III—2—4) |
a Ajh определяются из системы |
|
|
|
||
|
П |
|
|
|
|
2 |
( X‘8V |
- fllV----t ) Aik = 0 |
(й = |
1>2, .. ,/г) |
(III—2—5) |
С ТОЧНОСТЬЮ ДО произвольных ПОСТОЯННЫХ Си ■■■, |
Сй. |
Положим вначале, что все корни %и различны. Тогда |
|
Ajh — Bjf,Ck, det (Bjk) =h 0, |
(III 2 6) |
причем коэффициенты Bih определяются коэффициентами систе
мы (1) и значениями hi-
Очевидно, что для каждого фиксированного значения k+ име ется такое значение /+, что Bj+k+=£0.
Для определения Си имеем систему |
|
|
|
|
||
uo |
± B jkCk. |
|
(Ill |
2 7) |
||
|
ft=i |
|
|
|
|
|
Здесь Uj°— Uj при t= 0, ф1= 0. |
Положим, |
что |
|
|
|
|
u0j=m = ^ |
, |
“V » = |
°- |
|
(Ш -2 -8 ) |
|
Тогда |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (Bjkr |
i |
|
(III—2—9)- |
|
|
к |
|
0 |
|
|
|
Так как матрица {Bjk) неособая, коэффициенты |
аи |
не |
могут |
|||
быть равными нулю одновременно. С учетом равенств |
(7) |
и (9) |
||||
соотношение (3) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
а1= Т“ 2 B}k4 expX0(M — i^) I. |
(III—2—10) |
|||||
0 ft=i |
|
|
|
|
|
|
Помимо соотношений (4) и (5) рассмотрим вспомогательные со отношения
63