Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Fu= —pdv/dt. Появление нового вектора v требует привлечения дополнительных соотношений, а именно кинематических соотно­ шений совместности перемещений и поворотов (I—2—41), (I—2—43). Таким образом, к замкнутой системе уравнений ста­ тики § 2, п. 3 добавляются двенадцать скалярных уравнений, со­ держащих двенадцать новых переменных Vi, TV. Тем самым замкнутость уравнений динамики выполняется. Граничные усло­ вия полученной системы с частными производными первого по­

ния ламинарной вязкой жидкости, строго говоря, нельзя полу­ чить из уравнений равновесия (2—4), так как в процессе движе­

шем уравнения связи (I—3—18) в виде S[(dv*/dxj) • (dv*/dXj)] = 0;

умножим этЮ выражение на неопределенные непрерывные ска­

Проделав здесь те же преобразования, что и при выводе (2—4), получим

связывающих компоненты тензора напряжений Т и тензора ско­ ростей деформаций С, которые выражаются через производные по координатам от проекций v в соответствии с (I—3—10), а также с учетом соотношений, связывающих плотность и давле­ ние: ф=ф(р,р). Эти уравнения позволяют определить поле ско­ ростей и поле тензора напряжений ламинарной вязкой жидкости. Если в уравнение состояния входит температура, то следует до­ бавить еще уравнение баланса энергии и уравнение теплопровод­ ности.

Заметим, что в уравнениях (2) скорость v детерминирована в пространстве D, но не в пространстве D0, т. е. функция v (г0, f) может оказаться всюду разрывной. Поэтому ускорение а в этом случае следует вычислять по схеме (I—3—14).

50

новесия (2—4) путем добавления сил инерции, так как в идеаль­ ной жидкости сопутствующая система не определена; поэтому не­ справедливы вариационные формулировки типа (1—8). Обра­ тимся к основной функциональной формулировке принципа наи­ меньшего принуждения, записанного в форме (1—5). Будем ис­ ходить из представления v* = vc*+vr*, v+= v+c-j-v+r, где vc*, vr* —

и уравнения состояния. Если последнее содержит температуру, то необходимо добавить уравнения теплопроводности'и теплово­ го баланса.

Результатом минимизации должно явиться нахождение ис­

дой точке пространства сопоставляется не одно значение скоро­ сти, а функция v (g).

Из условий (3) и (4) можно перейти к дифференциальным уравнениям для идеальной жидкости. Действителыщ, пользуясь

Учитывая, что вариационная формулировка связи для идеаль­ ной жидкости может быть записана в виде равенства

4* 51

умножим это равенство на некоторый скаляр [—р (г, f)]. Прини­ мая во внимание, что

I р div 8v* d V — \ div(/?8v*) d V — j (gradp)-b\*dV,

v v v

fdiV (jOov*) r f l/= fpn-8v*rfo,

V a

где n — нормаль к поверхности a, ограничивающей объем V, и полагая, что на этой поверхности S$v* = 0, получаем

Здесь р — гидростатическое давление.

Эти уравнения замыкаются добавлением уравнения баланса массы (4) и уравнения состояния. Если положить 5v/5£=0, то из

(5) получим уравнения Эйлера для идеальной жидкости:

тел, движущихся в идеальной жидкости, по следующим сообра­ жениям. Если вычислить кинетическую энергию идеальной жид­ кости, то можно получить соотношение

2ЭК= J J ръЧ Ы У = Ч J p |v c + v r |a rf£rfl/=

V0 ио

= J 'pv2ed V + U pI v \d 'd V ,

терминированных составляющих поля скоростей, на возникнове­ ние которых должна затрачиваться работа.

С формально математической точки зрения различие между

divv. Последний класс функций является более широким, и, сле­

меняя обозначений, под g будем понимать совокупность трех независимых чи­ сел g = {gi, | 2, |з>, O s £ ii< l, полагая, что =

52

симость может возникнуть или в силу специфических граничных, или в силу специфических начальных условий. Первый случай будет проиллюстрирован в данном пункте. Второй случай, свя­ занный с потерей устойчивости решения в классе дифференциру­ емых функций v (г), будет рассмотрен в гл. III.

Итак, классические уравнения Эйлера для идеальной жидко­ сти недостаточны для полного описания движения, так как не дают возможности определения недетерминированных составля­ ющих поля скоростей. Попытаемся дать физическую интерпрета­ цию появления недетерминиров.анных составляющих скоростей в идеальной жидкости.

Согласно классической механике сплошных сред идеальная жидкость характеризуется отсутствием Dev Г; но тогда в силу принципа освобождаемости от связей неизбежно должны возник­ нуть дополнительные степени свободы, проявляющиеся в возник­ новении недетерминированных, т. е. разрывных на трехмерных континуумах, составляющих скоростей vr. Поэтому уравнения идеальной жидкости, записанные в общепринятой форме (6), не являются полными и, строго говоря, могут использоваться лишь при условии, что вязкость, а следовательно, и компоненты Dev Т бесконечно малы, но не в точности равны нулю и получаются предельным переходом из (2). Отмеченное обстоятельство хоро­ шо иллюстрируется, например, тем, что уравнения идеальной жидкости с разрывными начальными условиями", записанные в форме (6), не имеют единственного решения; решение стано­ вится единственным лишь при введении бесконечно малой вязко­ сти.

Все приведенные выше рассуждения остаются справедливы­

щается в совокупность свободных точек, в которой нельзя про­ вести не только индивидуализацию кривых и поверхностей, но также и индивидуализацию объемов (разбрызгивание, кавита­ ция) . Для описания движения в этом случае следует обратиться к обыкновенным дифференциальным, уравнениям движения сво­ бодных точек (1—2).

В заключение данного пункта приведем пример, иллюстри­ рующий возможность изучения неклассических течений жидко­ сти посредством принципа наименьшего принуждения.

П р и м е р. Рассмотрим плоское стационарное течение идеаль­ ной несжимаемой жидкости без массовых сил с граничными ус­ ловиями v = eXr при х = ± у , где е — постоянный вектор, направ­ ленный вдоль оси z, г — радиус-вектор точек жидкости, лежащий в плоскости х, у.

Если искать решение в классе дифференцируемых функций и, следовательно, исходить из уравнений Эйлера, то комплексную

53