Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Поскольку скорость (4) является характеристической, то с этой же скоростью распространяются и разрывы [<?2г/д<722]> т. е. раз­ рывы формы поверхности (1), причем эти разрывы могут быть не обязательно малыми. Следует, однако, заметить, что в силу результатов гл. I, § 4 линия разрыва формы должна быть асим­ птотической для поверхности (1).

Ввиду нелинейности формулы (2) конечные разрывы [v] и [dr/dq^ будут распространяться со скоростями, отличными от ха­ рактеристических. Исследуем с этой точки зрения возможность «самозарождения» разрывов [v], [dr/dq^ в результате накопления слабых разрывов, т. е. разрывов формы поверхности (I). Поль­ зуясь методом Римана и учитывая, что линия разрыва формы переносит разрывы [dN/d'z1], направленные по п, придем к усло­ вию возникновения ударных волн:

Исследуем распространение разрывов формы самой линии раз­ рыва поверхности (1), которая, как было показано выше, долж­ на быть асимптотической. Пользуясь аналогичными рассужде­ ниями и заменяя N на п, а п на т, придем к формуле для харак­ теристической скорости распространения малых изломов линии разрыва поверхности (1) или конечных разрывов ее формы (т. е. разрывов геодезической кривизны линии разрыва)

I" = х • grad,, >/ = х ■grad,, (n • gradjVX). (Ill—3—6)

Условием «самозарождения» конечных изломов этой линии в ре­ зультате накопления разрывов формы является следующее:

x-grad„ {(N X п) • grad,, (n-grad VX)} > 0. (Ill—3—7)

Итак, при одновременном выполнении условий (5) и (7) на поверхности фронта волны (1)' возникают разрывы в виде «хреб­ тов», а на последних возникают разрывы в виде «пиков».

Отметим, что полученные ударные волны имеют чисто гео­ метрический смысл, характеризуя конфигурацию той области аргументов, в которой рассматривается движение среды.

С интересующей нас точки зрения возникновение ударных волн типа «хребтов» или «пиков» на поверхности разрыва приво­ дит к неоднозначности характеристической скорости распростра­ нения поверхности разрыва в точках среды, через которые про­ ходит вышеупомянутый «пик» или «хребет». Таким образом, ес­ ли заданная в некоторый начальный момент поверхность разры­ ва в фиксированной точке непрерывно дифференцируема, но

69

имеет разрыв вторых производных от радиус-вектора по коорди­ натам, т. е. разрыв формы, то через некоторый интервал време­ ни может возникнуть неоднозначность характеристической ско­ рости распространения этой поверхности вследствие появления разрыва нормали к ней. Если же исходная поверхность разрыва в начальный момент дважды непрерывно дифференцируема, то неоднозначности характеристической скорости ее перемещения возникнуть не может, так как дифференциальные уравнения дви­ жения этой поверхности линейны относительно производных dnr/dqin при п > 1, и, следовательно, «самозарождение» разры­ вов dnr/dqin в результате накопления разрывов dn+1 r/dqin+l не­ возможно.

§ 4. Границы применимости классических уравнений движения нити

1. Характеристические скорости распространения волн в нити.

Будем исходить из принципа Гамильтона в форме (II—1—8) и после введения неопределенных множителей Лагранжа полу­ чим

Здесь F', F" — соответственно мертвые и следящие силы. Представим движение нити в виде суммы возмущенного и не­

возмущенного движений: г= г0+Дг, причем возмущения будем считать малыми. Варьируя только возмущенное движение и учи­ тывая преобразования гл. II, § 2, п. 1, вместо (1) будем иметь

A 9i

+ Д F" 8 Д г* dq| d t— 0.

Подынтегральное выражение первого внутреннего интеграла и подстановка равны нулю в силу уравнений невозмущенного дви­ жения. Поэтому

70

Положим, что возмущенное движение начинается со скачкооб­ разного изменения производных <9r/dt и dr/dq. Учитывая кинема­ тические соотношения на фронте разрыва (I—2—47), получим

{dAr/df]=—7,[dAr/dq], б [<?Дг*/д/]=^- Аб [d^r*/dq], где А,— скорость распространения разрыва по нити. Полагая, что вариации б [■••] обращаются в нуль на концах участка q\, qo и в моменты време­ ни t\ п t% получим из (2)

Для существования ненулевых разрывов [дДг/дд]-п° и [5Дг/^]-Ь°, где п°, Ь° — нормаль и бинормаль невозмущенной нити, необхо­ димо, чтобы рА,2=7'°, т. е.

Ч * = ± V t • (III 4 7)

Таким образом, Ai, 2 в (7) представляет собой скорость распрост­

[й3]= 0. Таким образом, рассматриваемый разрыв состоит в том, что соприкасающаяся плоскость поворачивается на некоторый конечный угол ф относительно касательной т.

Используя уравнение движения нити в виде

получаем

Здесь F2" — проекция следящей силы F" на нормаль n, b* — пер­ пендикуляр к биссектрисе угла между нормалями до и после разрыва.

Из (8) получается выражение для скорости

распространения волны «закручивания» нити, переносящей раз­ рывы угла поворота соприкасающейся плоскости.

.Положим, наконец, что [Г]=^0. Тогда из (4) с учетом (5) по­ лучим pA,2[ft] = [7т], где dr/dq = x-f. Следовательно,

(о)2/ ' — Т') т' = (Pl2f — Т") 1", (III—4—10)

Очевидно, что Яб,б является скоростью распространения продоль­ ной волны растяжения. Ограничиваясь случаем малых возмуще­ ний растяжений [f] и предполагая материал нити идеально упру­ гим, получаем

Если в (10) положить [т]=^=0, то рЯ2/'—T' = pXzf"—Т"—0, и снова приходим к формуле (12).

Итак, в упруго растяжимой нити возможны лишь три системы волн и соответственно три характеристические скорости их рас­ пространения; эти скорости определяются формулами (7), (9) и (12). Заметим, что при выводе скоростей (7) и (9) не делалось предположений о малости переносимых разрывов, а при выводе скорости (12) малость переносимых разрывов была существенна.

Если нить движется по поверхности, то формулы (7) и (12) для скоростей сохраняются. Скорость (9) сохраняет свой вид лишь тогда, когда нить располагается по геодезической кривой поверхности. В противном случае

Формула (13) отличается от (9) тем, что вместо полной кривиз­ ны нити й 3 здесь фигурирует геодезическая кривизна Qr, a Р2*

72