Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

I

dE d t — ^ dw,c^[ p d'lw:df- — djds (TQdwtds)l ds = 0.

В отличие от [12] из (е) здесь еще не следует, что w (s, t) = 0, так как имеют место более слабые неравенства, чем в [12], а именно

И только если искать решение в классе функций, в котором про­ изводная dw/ds непрерывна в замкнутом промежутке

из (е) вытекает единственность решения.

Такое своеобразие поставленной задачи связано с тем, что исходное уравнение является гиперболическим в открытом про­ межутке 0 ^ 5 < /, но вырождается в параболическое в закрытом промежутке

^ > = Т 1 М ^ Г + Ч ^ ) > = Т | И ^ Г +

фронтов волны'разрыва производных d2Ar3/dt2 и d2Ar3/ds2, при­ чем Si = Si°, S2=S2° при ^=0.

•Очевидно, что Дг3= 0 при s<si и s> S 2-

Из дифференциальных уравнений характеристик

dSi/dt= + Y Т0/р, ds2jdt= ± Y Т01р

находим уравнения характеристик, проходящих через si0 и S20:

78

При s\,i = l в силу (д) имеет место особое решение, совпада­ ющее для обеих характеристик. Могут представиться два слу­ чая.

1°. Несобственный интеграл

которая имеет место при сколь угодно малых начальных усло­ виях.

Эта оценка свидетельствует о некорректности постановки за­

Сформулированный результат получен при частных началь­ ных условиях (ж). Однако, пользуясь принципом суперпозиции для исходного линейного уравнения и добавляя к произвольным начальным условиям условия (ж), которые могут сколь угодно мало отличаться от нулевых, придем к той же оценке.

Рассмотренная задача получилась в результате линеариза­ ции исходной физической задачи, поэтому математическую фор­ мулировку неустойчивости следует ослабить и записывать в ви­ де

■д^[3 ■> 8 > 0 при ®(s) -» 0.

Физическим проявлением отмеченной выше неустойчивости будет резкое повышение скоростей точек нити вблизи свободно­ го конца (щелчок кнута). Сходимость интеграла (и) имеет ме­ сто в большинстве практически важных случаев, в частности, в случае, когда однородная весомая нить имеет прямолинейную

любое возмущение, возникшее в промежутке О<As<A в конечном интервале времени не достигает свободного конца, и любое воз­

79

мущение, возникшее на свободном конце, не распространится на остальные точки нити. Другими словами, свободный конец ста­ новится изолированной точкой, значение функции в которой ни­ как не связано со значениями функции в остальных точках.

Это обстоятельство и является иллюстрацией той неединст­ венности решения, которая отмечалась при исследовании выра­

промежутке 0^ s /.

Приведенные результаты относятся к малым бинормальным возмущениям, описываемым уравнением (а). Если в невозму­ щенном состоянии нить имеет малую кривизну, то малые нор­ мальные возмущения описываются первым уравнением (в), ко­ торое полностью совпадает с уравнением (а).

Следовательно, в этом случае все результаты, полученные от­ носительно малых бинормальных возмущений, полностью пере­ носятся на малые нормальные возмущения.

Полученные результаты можно обобщить на случай, когда нить движется в сопротивляющейся среде, т. е. когда внешняя

Здесь — коэффициент сопротивления среды. Тогда уравне­ ние (а) принимает вид

80

в сопротивляющейся среде эффект резкого возрастания скоро­ стей у свободного конца нити имеет место при тех же условиях, что и в вакууме. Аналогичный результат, разумеется, может быть получен и для первого уравнения (в) при наличии сил со­ противления.

Итак, свободный конец нити является той точкой, в которой имеет место нулевая скорость распространения поперечной вол­ ны, и, следовательно, именно в этой точке реализуется интере­ сующий нас граничный случай возникновения структурной неус­ тойчивости. Рассмотренный пример показал, что точка с нулевой скоростью распространения поперечной волны может как при­ надлежать области неустойчивости структуры, так и не принад­ лежать ей в зависимости от того, с какой интенсивностью стре­ мится характеристическая скорость к нулю, при приближении к этой точке.

Нетрудно показать, что аналогичные явления возникают и в гибком шланге с той лишь разницей, что граничная тонка на­ ходится не на свободном конце, а несколько выше, так как вбли­ зи свободного концагибкий шланг в силу (19) находится в об­ ласти структурной неустойчивости.

5. Решение «неклассической» задачи о двиокении нити с п мощью принципа наименьшего принуждения. Проиллюстрируем па примере гибкой нити возможность прямого использования принципа наименьшего принуждения для нахождения движения нити в том случае, когда классические дифференциальные урав­ нения теряют смысл.

Рассмотрим весомую нерастяжимую нить, прямолинейно на­ тянутую между двумя опорами, лежащими на одной вертикали. Положим, что в некоторый момент времени t = 0 на расстоянии I от нижней опоры нить перерезается, а затем предоставляется самой себе. Движение верхней части нити изучено в п. 4; рас­ смотрим движение нижней части нити. Попытаемся вначале вос­ пользоваться классическими методами. Полагая, что в момент ^ = 0 начальные скорости точек нити были равными нулю и учи­ тывая, что вес и внешние силы, а именно вес и реакция нижней опоры, вертикальны (последняя должна быть направлена обяза­ тельно по касательной к нити, как это следует из уравнения свя­ зи для нити), придем к выводу о том, что нить должна в любой момент времени располагаться на прежней вертикали. Если ре­ шение поставленной задачи отыскивается в классе дифференци­ руемых функций, то нить должна оставаться неподвижной. Та­ кой парадоксальный результат, явно противоречащий опыту, явился результатом искусственного ограничения класса функ­ ций, в котором отыскивается решение. Снимем это ограничение и обратимся к принципу наименьшего принуждения в форме (II—1—4), согласно которому истинное движение минимизирует функционал