Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

при условиях |d r/d s|= l, r(0)=0. Здесь s — дуговая координата нити, отсчитывается от точки закрепления.

Если временно отбросить ограничение г (0) = 0, то при а =

= —geз (т. е. г= ——gt2e3) Фо = 0 (где g — ускорение свободного

падения, е3 — единичный орт вертикальной оси, направленной вверх). Следовательно, минимум функционалу Фа доставляет свободное падение точек нити вдоль вертикали так, что рассмат­ риваемый отрезок нити поступательно перемещается вниз; при этом, как нетрудно видеть, условие |dr/<?s| =1 удовлетворяется и решение остается в классе дифференцируемых функций. Однако это решение не удовлетворяет граничному условию г(0)=0 и, следовательно, не является решением исходной задачи. «Выход» из класса дифференцируемых функций позволяет сохранить по­ лученное решение и удовлетворить граничному условию г(0) =0. Действительно, положим, что при s = + 0 функция s(x) (где х — координата, отсчитываемая вдоль вертикали) становится нигде не дифференцируемой и «скатывается» в точку, причем в откры­ том промежутке 0<^s<l по-прежнему s —x. Тогда легко удовлет­

Это решение доставляет минимум исходному функционалу, так как

i

j р | а — g\2dl — Q при е - > 0 ,

S>0

и в то же время удовлетворяет всем наложенным на него ограни­ чениям.

Таким образом, истинное движение рассматриваемого участ­ ка нити будет представлять собой свободное падение всех ее то­ чек вертикально' вниз, сопровождающееся «втеканием» нити в точку закрепления, причем в любой момент времени форма ни­ ти будет оставаться вертикальной. Такое движение можно на­ блюдать экспериментально. Из (21) следует, что во всех точках, кроме s = 0, натяжение нити равно нулю. В точке s = 0 натяже­ ние вообще не определено, так как в этой точке отсутствует де­ терминированная связь 6|dr/ds| =0.

В рассматриваемой задаче точкой «конденсации» нити ока­ зался ее нижний закрепленный конец. Однако при более слож­ ных воздействиях на этот участок нити могут появиться и допол-

82

нительные точки «конденсации», причем в любом случае истин­ ное решение находится минимизацией функционала Фа с учетом соответствующих ограничении, наложенных на искомое решение.

§ 5. Границы применимости классических уравнений движения пленки

1. Характеристические скорости распространения волн в плен ке. Исходя из принципа Гамильтона в форме (II—1—8), после введения неопределенных множителей Лагранжа получим

где do — элемент поверхности пленки.

Представим движение пленки в виде суммы возмущенного и невозмущенного движений г= г0+Аг, причем возмущения Аг бу­ дем считать малыми. Варьируя только возмущенное движение,

Здесь F' — следящая составляющая сил F. Подынтегральное вы­ ражение первого внутреннего интеграла и подстановка равны нулю в силу уравнений невозмущенного движения.

Поэтому

Рассмотрим бесконечно малую окрестность вблизи некоторой за­ ранее выбранной точки пленки. Положим, что возмущенное дви­ жение начинается со скачкообразного изменения скорости dr/dt, причем линия разрыва с нормалью п, лежащей в касательной к пленке поверхности, проходит через зафиксированную точку и дважды непрерывно дифференцируема. Последнее обстоятельст­ во в силу § 3 исключает возможность появления неоднозначности характеристической скорости распространения разрыва. Введем

был единичным и ортогональным, т. е. (dr/dqi) ■(drjdqj) =8,> причем орт dr/dqi направим по нормали к линии разрыва п. При таком выборе сопутствующей системы координат в соответствии с формулами геометрической и кинематической совместности на фронте разрыва [<3Ar/d<72]= 0, X [dAr/dqi] = —[dr/dt], где X— ско­ рость распространения разрыва вдоль нормали п. Полагая, что вариации б [...] обращаются в нуль на границе рассматриваемой пленки и в момент времени t\ и to, получим из (2)

где N — нормаль к поверхности пленки в зафиксированной точке, Ти° — нормальное напряжение в сечении пленки, проходящем через зафиксированную точку и касательном к линии разрыва.

Для существования ненулевых разрывов [<3Ar/d^i]-N необхо­ димо, чтобы рХ2—Гп°=0, т. е.

Таким образом, Х\,% представляет собой скорость распростране­ ния поперечной волны в пленке, причем, как и в нити, эта ско­ рость не зависит от свойств материала, из которого выполнена пленка.

Случай [Г]=7^=0 не является специфичным для пленки и будет рассмотрен при изучении упругого твердого тела.

Для двумерного гибкого шланга (надувной оболочки), как и в случае одномерного шланга, скорость поперечной волны полу­ чается в виде

Здесь р — плотность оболочки, р' — плотность жидкости, «0(71) — проекция скорости жидкости на нормаль к линии разрыва, р — давление жидкости.

2. Критерии структурной неустойчивости движения пленк

Сопоставим результаты предыдущего пункта с результатами § 2. Если искать малые возмущения Дг в виде, аналогичном (2—3): Дг=Дг0ехрХо/ (Xkt—<7i), то придем к характеристическому соот­ ношению (4) или (5) относительно величины [dr/ctyiJ-N, т. е. от-

84

носительно величин изломов пленки. Заметим, что при выводе этих соотношений не делалось предположений относительно ма­ лости изломов пленки. Поэтому результаты § 2, п. 1 полностью могут быть отнесены к данному случаю, и, следовательно, при ус­ ловии Тп< 0 , вытекающем из (4), имеет место оценка

пленки, касательном к линии разрыва, qn — сопутствующая ко­ ордината, касающаяся нормали п к линии разрыва в рассматри­

точке пленки, то в этой точке найдутся такие направления п, что в сечениях пленки, перпендикулярных п, нормальные напряже­ ния Тп будут отрицательными. Следовательно, выполнение хотя бы одного из последних неравенств является необходимым и до­ статочным условием существования направлений, для которых имеет место неравенство 7’п<0. Если же выполняются оба не­ равенства, то любое сечение пленки в рассматриваемой точке бу­ дет обладать свойством Тп<С.0.

Как и в случае нити, сжатая в направлении п пленка стано­ вится нигде не дифференцируемой в этом направлении, хотя ос­ тается непрерывной. Ее форма принимает пилообразный про­ филь с «зубцами» бесконечно большой частоты и бесконечно ма­ лой высоты, причем линии «зубцов», образующих складки, пер­ пендикулярны п. Как и в случае нити, здесь углы при вершине зубцов могут быть достаточно малы, вплоть до нуля, так что пленка может «скататься» в линию наподобие того, как нить «скатывается» в точку. Образующиеся при этом линии конденса­ ции можно рассматривать как нити, поэтому, если выполняются

Точно такие же явления имеют место и в надувной оболочке, если

(III—5—6)

Для существования сечений, в которых может иметь место нера­ венство (6), должны существовать такие углы а, при которых выполняется неравенство

напряжений и нормалью п к линии разрыва, «о— модуль скоро­

85

Теперь очевидно, что для существования сечений, в которых име­ ет место условие (6), необходимо и достаточно выполнение одно­ го из неравенств:

где Т,*, Г2* — главные значения тензора напряжений Т*, причем Т* = Тр/р + р', р* = рр'/р+р'. Чтобы в любом сечении имело место неравенство (6), необходимо и достаточно выполнение условий

(8) и '(9). Не представляет труда получение для пленки резуль­ татов, аналогичных приведенным для нити в п. 4, 5 предыдуще­ го параграфа.

Подчеркнем, что при получении в данном пункте критериев возникновения структурной неустойчивости движения пленки ни­ где не использовались конкретные свойства материала пленки, т. е. уравнения состояния. Следовательно, эти результаты приме­ нимы для всех видов пленок, как выполненных из упругого ма­ териала, так и с неизменяемой внутренней геометрией; справед­ ливы эти результаты, конечно, для сетей, идеально жидких . и вязкожидких пленок. Наконец, типичным примером пленки явля­ ется тонкий поверхностный слой жидкости, который может рас­ сматриваться как жидкая пленка. Заметим, что в жидких пленках основным фактором, обеспечивающим их устойчивость с точки зрения условия Тп<.0, является положительное поверхностное натяжение. Поскольку в случае идеально жидкой пленки сопут­ ствующей системы координат не существует, все рассуждения можно проводить применительно к условно-сопутствующей си­ стеме координат.

3. Критерии неустойчивости формы пленки. Используем факт, что характеристическое уравнение любой линейной систе­ мы дифференциальных уравнений не изменится, если его про­ дифференцировать п раз по одному из аргументов. Это означает, что разрывы [(dAr/dqi) • N] распространяются с такой же харак­

—(дАг/dqi)-[dN/dqi]. Однако, как следует из формул гл. I, § 4, п. 2, линия разрыва Ьц может проходить лишь через те точки пленки, в которых гауссова кривизна не положительна. Таким образом, сильные разрывы кривизны пленки, как, впрочем, и сла­ бые разрывы кривизны, т. е. разрывы дЬц/dqь могут распростра­ няться со скоростью (4) и (5) лишь в направлениях, перценди-

86