Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
кулярных асимптотическим линиям поверхности пленки в данной точке. Следовательно, в каждой точке пленки гиперболического типа (/?<0) существуют два в.озможных направления распрост ранения волны разрыва формы; в каждой точке параболического типа — одно такое направление; в точках эллиптического типа направлений распространения волны разрыва формы не суще ствует.
Положим теперь, что возмущенное движение пленки начина ется с возникновения сильного разрыва формы [&ц]=^0, причем поперечные разрывы отсутствуют, т. е.
[N-<?Ar/'^1]i=o = 0. (Ill—5—10)
Тогда линией начального разрыва 6ц может быть лишь асимпто тическая линия на поверхности. Если для этой линии выполня ется условие Тп< 0 или (20), то происходит потеря устойчивости формы, проявляющаяся в том, что функция bn (qn) становится нигде не дифференцируемой в направлении, перпендикулярном асимптотическому; при этом потери структурной устойчивости может и не произойти, если имеет место (10), т. е. будет сущест вовать тензор напряжений Т, являющийся непрерывной функци ей точки на поверхности пленки. Таким образом, потеря устойчи вости формы пленки без потери устойчивости ее структуры мо жет произойти лишь при выполнении условий (4) или (5) на ка кой-либо асимптотической линии.
При получении последнего результата существенным явля ется то обстоятельство, что скорость распространения больших поперечных разрывов в пленке является характеристической, т. е. не зависит от величины переносимых разрывов; это исклю чает возможность возникновения таких разрывов в результате «накопления» разрывов формы [6ц] (ударных волн), если только имеет место равенство (10).
Исследуем геометрию тех'направлений, в которых могут рас пространяться слабые и сильные разрывы формы пленки. Воспользуемся соотношениями Гаусса — Кодацци (I—4—13), (I—4—14), которые в принятой системе координат (dr/dqгХ
XdrA?<7j= 6ij) принимают вид
db12 |
dbn |
dq2 |
dqi |
dbn dq3
b u b 22 — b2n = R , |
(III—5—11) |
||
dG |
1 h dG |
1 . dG |
(III—5—12) |
dqi |
2 |
|
|
дЬ^2 |
и |
d V G |
(III—5—13) |
dqi |
o 12- |
dqi |
Дифференцируя (П) по <71, |
получаем |
|
|
||
db\\ |
/, | |
<^22 |
b n — 2 Ьг2 dqi |
dR |
(Ш -5—14) |
dq1 |
' ^22 ~1“ |
dq1 |
dqi ' |
С помощью системы (12), (13) и (14) исследуем скорости и на правления распространения слабых разрывов формы, т. е.
87
[dbij/dqlt]. Учитывая сказанное в начале данного пункта, прихо дим к выводу, что скорость распространения этих разрывов да ется формулой (4) или (5). Для нахождения возможных направ лений распространения этих разрывов используем соотношения на линии разрыва
Г д 1 |
— |
д |
cos я = |
Г д 1 |
C t g a , |
Г д У а 1 |
(III—5—15) |
|
. dqx . |
дп |
d qз |
L d q t J |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Здесь п — нормаль к линии разрыва, лежащая в плоскости, ка сательной к поверхности пленки, а — угол между п и dr/dqx. То гда из системы (12), (13), (14) с учетом (15) получим, что для существования ненулевых слабых разрывов формы поверхности пленки необходимо, чтобы
+ (Ill—5—16)
Этой формулой и задаются те дискретные направления, в кото рых может распространяться волна слабого разрыва формы по
верхности пленки. Отсюда же следует, что если |
то суще |
ствуют направления распространения этой волны; |
если R > 0, то |
не существует возможных направлений распространения волн слабых разрывов формы.
Аналогичным путем можно получить направления распрост ранения сильных разрывов формы пленки, если исходить из си
стемы |
|
|
|
|
|
J bv2dqx- |
j b udqs =- |
*11*22 |
*212-- |
|
|
-Щ(*„ |
+*■2-Ц+ b2, ^ ) d q xdq.2, |
||||
Чг |
Ян |
|
Я\Яъ |
|
|
|
J bxxd q x—'Jb12dqa = —JJ*12 |
dqxdq2 |
|||
|
Я\ |
Яй |
|
Я*Яъ |
|
и соотношений |
на линии разрыва |
[622]== [612] tg сс—[611] tg2 я, |
[G]= 0.
Учитывая, что [R]= 0 и что fb11] [Ь'гг]= [b1г]2, придем к тем же характеристическим направлениям распространения сильных разрывов формы, которые имели место и для слабых разрывов формы.
§6. Границы применимости классических уравнений движения трехмерных сред1
1.Критерии структурной неустойчивости идеально упруго тела. Будем исходить из принципа Гамильтона в форме (II—1—8) и после введения неопределенных множителей Лаг ранжа получим
88
к (Я) |
|
з |
|
n |
( pv -8v- |
2 |
T m { ^ ^ ) + F -ir ' } d v '‘d t = o- <111-6-0 |
к |
Vo |
l.j |
=1 |
Представим движение тела в виде суммы возмущенного и невоз мущенного движений г= г0+Лг, причем возмущения Дг будем считать малыми. Варьируя возмущенное движение, вместо (1)
по л у ч и м
к(Я)
Ш |
div Г> —F ° ) 8Дг*<* V0+ |
|
(ра<,~ |
|
|
Л |
^0 |
3 |
|
(Я) |
|
|
< |
д Ат |
|
Р |
d t |
k t - 1
+ A F - 8 A r * W v 0|
(fЯ) (T°„ + F ° , ) 8 A r :-rfa0 +
|
» dA r* . |
( T " |
w ) - 1 i>4i + |
д 4S |
о |
-S |
|
II |
|
Подынтегральные выражения первых двух внутренних интегра лов равны нулю в силу уравнений невозмущенного движения. Поэтому
к (Я) |
д Ат* |
б |
|
dr |
дАг* |
|
dAr г |
s |
|
|
|||
шк и„ |
|
д |
[тч-£- |
|
+ |
|
Р— - 8 - |
dt |
|
dqj |
|||
dt |
i.j-i |
|
dqi |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
F-8Ar*JdV0J dt = 0. |
|
(Ш -6—2) |
Предположение об идеальной упругости рассматриваемого тела позволяет ввести потенциальную энергию Эп:
i.]=\ |
|
и записать (4) в виде |
|
J J (ЗДЭк — ЗДЭп) dV 0 d t — 0. |
(Ill—6 -3 ) |
к v. |
|
Рассмотрим бесконечно малую окрестность вблизи некоторой за ранее выбранной.точки сплошной среды. Выделим в этой окрест ности дважды дифференцируемую поверхность с единичной нор малью N. Положим, что в начальный момент времени в зафик сированной окрестности возникло бесконечно малое возмущение типа скачка некоторого параметра е, причем grad [e]XN=0. Бу дем искать скорость X распространения этого возмущения вдоль N, ограничиваясь выбранной окрестностью и бесконечно малым интервалом времени. Такая постановка задачи допускает лине-
89
аризацию уравнений динамики и соотношений |
совместности |
|
в данной окрестности. |
|
чтобы в за |
Введем сопутствующую систему коордийат q{ так, |
||
фиксированной точке в начальный момент времени |
координат |
|
ный базис был единичным и ортогональным, т. е. |
dr/dqi-dr/dqj = |
= 6ij, причем орт dr/dqi направим по нормали N. При таком вы боре сопутствующей системы координат [dr/dq2,з]=0, так как
N-dr/dq2 = 0, N-dr/dq3 = 0', —X [dr/d^] —[dr/d(] = [v]. Здесь v — ско рость, t.— время.
Последние равенства вытекают из соотношений совместности на фронте разрыва. Обозначим проекции векторов dr/dqi и v на
неподвижные декартовы оси |
Х2, Х3соответственно через аи а2, |
||
a-г, Щ, v2, Нз, полагая, что эти оси в начальный |
момент |
времени |
|
в зафиксированной точке совпадают с базисом |
сопутствующей |
||
системы, т. е. ai = l, а2 — а2 = 0. Тогда |
|
|
|
К - ] = - Ч я (] (*= 1, 2,3). |
(III—6—4) |
||
При этом величина [щ] определяет фронт продольной |
волны, |
а величины [и2], [нз] — фронты поперечных волн разрывов скоро стей и деформацицй рассматриваемой среды.
Полагая, что ДЭ= [Э], получим |
|
||
|
3 |
|
|
[ Э к ! = р 2 № |
_V |
Т у к ] |
laj\ + C (k] [а}] .. • \ак\). |
[э п — |
|||
1 = 1 |
/=1 |
|
|
Здесь р — плотность, £ (...) — сумма членов, содержащих произ ведения трех и более скачков [а£],
Ту=Тд |
д2Э |
|
дЭп |
0 |
|
при [а|] = [ау] = 0 . |
д М д Щ |
’ |
й[а£] |
|
|||
Поэтому, учитывая (4), будем иметь |
|
|
||||
3 |
8 [ а , * |
|
3 [Эп]= |
3 |
Ту [«/] 3 [ а , * ] . (Ш -6 -5 ) |
|
3 [Эк] = рЬ 22 Ы |
] , |
2 |
1 |
|||
i=1 |
|
|
|
|
|
Если варьирование в (5) произвести таким образом, чтобы ва
риации исчезли на поверхности, |
замыкающей объем Vo, при to и |
t\, то в качестве следствия из (3) |
получим |
р),2 [ fl/] = 2 Т у \аА 0 = 1 . 2 , 3 ). |
|
;'=1 |
|
Для существования ненулевых скачков [а,] необходимо равен ство нулю определителя:
i (Т у) — 1= Cl-
Отсюда следует, что скорости А, распространения бесконечно ма лых разрывов скоростей и деформаций в упругом теле определя ются через собственные значения А.0 симметричной матрицы (уу), составленной из вторых производных от потенциальной энергии по скачкам [й£] при нулевых значениях последних, т. е.
90