Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

кулярных асимптотическим линиям поверхности пленки в данной точке. Следовательно, в каждой точке пленки гиперболического типа (/?<0) существуют два в.озможных направления распрост­ ранения волны разрыва формы; в каждой точке параболического типа — одно такое направление; в точках эллиптического типа направлений распространения волны разрыва формы не суще­ ствует.

Положим теперь, что возмущенное движение пленки начина­ ется с возникновения сильного разрыва формы [&ц]=^0, причем поперечные разрывы отсутствуют, т. е.

[N-<?Ar/'^1]i=o = 0. (Ill—5—10)

Тогда линией начального разрыва 6ц может быть лишь асимпто­ тическая линия на поверхности. Если для этой линии выполня­ ется условие Тп< 0 или (20), то происходит потеря устойчивости формы, проявляющаяся в том, что функция bn (qn) становится нигде не дифференцируемой в направлении, перпендикулярном асимптотическому; при этом потери структурной устойчивости может и не произойти, если имеет место (10), т. е. будет сущест­ вовать тензор напряжений Т, являющийся непрерывной функци­ ей точки на поверхности пленки. Таким образом, потеря устойчи­ вости формы пленки без потери устойчивости ее структуры мо­ жет произойти лишь при выполнении условий (4) или (5) на ка­ кой-либо асимптотической линии.

При получении последнего результата существенным явля­ ется то обстоятельство, что скорость распространения больших поперечных разрывов в пленке является характеристической, т. е. не зависит от величины переносимых разрывов; это исклю­ чает возможность возникновения таких разрывов в результате «накопления» разрывов формы [6ц] (ударных волн), если только имеет место равенство (10).

Исследуем геометрию тех'направлений, в которых могут рас­ пространяться слабые и сильные разрывы формы пленки. Воспользуемся соотношениями Гаусса — Кодацци (I—4—13), (I—4—14), которые в принятой системе координат (dr/dqгХ

XdrA?<7j= 6ij) принимают вид

db12

dbn

dq2

dqi

dbn dq3

b u b 22 b2n = R ,

(III—5—11)

dG

1 h dG

1 . dG

(III—5—12)

dqi

2

 

 

дЬ^2

и

d V G

(III—5—13)

dqi

o 12-

dqi

Дифференцируя (П) по <71,

получаем

 

 

db\\

/, |

<^22

b n — 2 Ьг2 dqi

dR

(Ш -5—14)

dq1

' ^22 ~1“

dq1

dqi '

С помощью системы (12), (13) и (14) исследуем скорости и на­ правления распространения слабых разрывов формы, т. е.

87


[dbij/dqlt]. Учитывая сказанное в начале данного пункта, прихо­ дим к выводу, что скорость распространения этих разрывов да­ ется формулой (4) или (5). Для нахождения возможных направ­ лений распространения этих разрывов используем соотношения на линии разрыва

Г д 1

д

cos я =

Г д 1

C t g a ,

Г д У а 1

(III—5—15)

. dqx .

дп

d qз

L d q t J

 

 

 

 

 

 

 

Здесь п — нормаль к линии разрыва, лежащая в плоскости, ка­ сательной к поверхности пленки, а — угол между п и dr/dqx. То­ гда из системы (12), (13), (14) с учетом (15) получим, что для существования ненулевых слабых разрывов формы поверхности пленки необходимо, чтобы

+ (Ill—5—16)

Этой формулой и задаются те дискретные направления, в кото­ рых может распространяться волна слабого разрыва формы по­

верхности пленки. Отсюда же следует, что если

то суще­

ствуют направления распространения этой волны;

если R > 0, то

не существует возможных направлений распространения волн слабых разрывов формы.

Аналогичным путем можно получить направления распрост­ ранения сильных разрывов формы пленки, если исходить из си­

стемы

 

 

 

 

 

J bv2dqx-

j b udqs =-

*11*22

*212--

 

-Щ(*„

+*■2-Ц+ b2, ^ ) d q xdq.2,

Чг

Ян

 

Я\Яъ

 

 

 

J bxxd q x—'Jb12dqa = —JJ*12

dqxdq2

 

Я\

Яй

 

Я*Яъ

 

и соотношений

на линии разрыва

[622]== [612] tg сс—[611] tg2 я,

[G]= 0.

Учитывая, что [R]= 0 и что fb11] [Ь'гг]= [b1г]2, придем к тем же характеристическим направлениям распространения сильных разрывов формы, которые имели место и для слабых разрывов формы.

§6. Границы применимости классических уравнений движения трехмерных сред1

1.Критерии структурной неустойчивости идеально упруго тела. Будем исходить из принципа Гамильтона в форме (II—1—8) и после введения неопределенных множителей Лаг­ ранжа получим

88


к (Я)

 

з

n

( pv -8v-

2

T m { ^ ^ ) + F -ir ' } d v '‘d t = o- <111-6-0

к

Vo

l.j

=1

Представим движение тела в виде суммы возмущенного и невоз­ мущенного движений г= г0+Лг, причем возмущения Дг будем считать малыми. Варьируя возмущенное движение, вместо (1)

по л у ч и м

к(Я)

Ш

div Г> F ° ) 8Дг*<* V0+

(ра<,~

 

Л

^0

3

 

(Я)

 

<

д Ат

 

Р

d t

k t - 1

+ A F - 8 A r * W v 0|

(fЯ) (T°„ + F ° , ) 8 A r :-rfa0 +

 

» dA r* .

( T "

w ) - 1 i>4i +

д 4S

о

-S

 

II

 

Подынтегральные выражения первых двух внутренних интегра­ лов равны нулю в силу уравнений невозмущенного движения. Поэтому

к (Я)

д Ат*

б

 

dr

дАг*

 

dAr г

s

 

 

шк и„

 

д

[тч-£-

 

+

Р— - 8 -

dt

 

dqj

dt

i.j-i

 

dqi

 

 

 

 

 

 

 

+

F-8Ar*JdV0J dt = 0.

 

(Ш -6—2)

Предположение об идеальной упругости рассматриваемого тела позволяет ввести потенциальную энергию Эп:

i.]=\

 

и записать (4) в виде

 

J J (ЗДЭк — ЗДЭп) dV 0 d t — 0.

(Ill—6 -3 )

к v.

 

Рассмотрим бесконечно малую окрестность вблизи некоторой за­ ранее выбранной.точки сплошной среды. Выделим в этой окрест­ ности дважды дифференцируемую поверхность с единичной нор­ малью N. Положим, что в начальный момент времени в зафик­ сированной окрестности возникло бесконечно малое возмущение типа скачка некоторого параметра е, причем grad [e]XN=0. Бу­ дем искать скорость X распространения этого возмущения вдоль N, ограничиваясь выбранной окрестностью и бесконечно малым интервалом времени. Такая постановка задачи допускает лине-

89



аризацию уравнений динамики и соотношений

совместности

в данной окрестности.

 

чтобы в за­

Введем сопутствующую систему коордийат q{ так,

фиксированной точке в начальный момент времени

координат­

ный базис был единичным и ортогональным, т. е.

dr/dqi-dr/dqj =

= 6ij, причем орт dr/dqi направим по нормали N. При таком вы­ боре сопутствующей системы координат [dr/dq2,з]=0, так как

N-dr/dq2 = 0, N-dr/dq3 = 0', —X [dr/d^] —[dr/d(] = [v]. Здесь v — ско­ рость, t.— время.

Последние равенства вытекают из соотношений совместности на фронте разрыва. Обозначим проекции векторов dr/dqi и v на

неподвижные декартовы оси

Х2, Х3соответственно через аи а2,

a-г, Щ, v2, Нз, полагая, что эти оси в начальный

момент

времени

в зафиксированной точке совпадают с базисом

сопутствующей

системы, т. е. ai = l, а2 — а2 = 0. Тогда

 

 

К - ] = - Ч я (] (*= 1, 2,3).

(III—6—4)

При этом величина [щ] определяет фронт продольной

волны,

а величины [и2], [нз] — фронты поперечных волн разрывов скоро­ стей и деформацицй рассматриваемой среды.

Полагая, что ДЭ= [Э], получим

 

 

3

 

 

[ Э к ! = р 2 №

_V

Т у к ]

laj\ + C (k] [а}] .. • \ак\).

[э п

1 = 1

/=1

 

 

Здесь р — плотность, £ (...) — сумма членов, содержащих произ­ ведения трех и более скачков [а£],

Ту=Тд

д2Э

 

дЭп

0

 

при [а|] = [ау] = 0 .

д М д Щ

й[а£]

 

Поэтому, учитывая (4), будем иметь

 

 

3

8 [ а , *

 

3 [Эп]=

3

Ту [«/] 3 [ а , * ] . (Ш -6 -5 )

3 [Эк] = рЬ 22 Ы

] ,

2

1

i=1

 

 

 

 

 

Если варьирование в (5) произвести таким образом, чтобы ва­

риации исчезли на поверхности,

замыкающей объем Vo, при to и

t\, то в качестве следствия из (3)

получим

р),2 [ fl/] = 2 Т у \аА 0 = 1 . 2 , 3 ).

;'=1

 

Для существования ненулевых скачков [а,] необходимо равен­ ство нулю определителя:

i (Т у) — 1= Cl-

Отсюда следует, что скорости А, распространения бесконечно ма­ лых разрывов скоростей и деформаций в упругом теле определя­ ются через собственные значения А.0 симметричной матрицы (уу), составленной из вторых производных от потенциальной энергии по скачкам [й£] при нулевых значениях последних, т. е.

90