Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

координат, а именно, вектора г00 (t), тензора £ 00 У) (при С00=/)> характеризующих абсолютно твердое движение пленки, четырех функций Gij (qu q2, t) и двух функций bn {qu 0 , t), bl2 {qu 0 , t),

характеризующих деформационное движение пленки, состоящее в изменении внутренней и внешней ее геометрии.

Поэтому пленка может рассматриваться как среда с конеч­ ным числом обобщенных степеней свободы.

К обобщению модели пленки, как и в случае твердого тела, можно прийти, нарушая соотношения совместности (9) или (10). Наконец, все, сказанное относительно локальных разрывов про­ изводных дг/dqi, dr/dq2, дг/dt в § 2, п. 4, полностью переносится на модель пленки, в том числе и формулы (2—46), (2—47). Од­ нако некоторые особенности имеют возможные разрывы коэффи­ циентов второй квадратичной формы Ьц. Для установления этих особенностей выберем сопутствующую систему координат на по­ верхности пленки так, чтобы в зафиксированной точке М и в за­ фиксированный момент времени t0 имели место соотношения

этому из (20) следует [6ц] • 622 = 0.

Таким образом, отличные от нуля разрывы Ьц возможны лишь тогда, когда Ь'22 = 0, т. е. линия разрыва является асимпто­ тической. Другими словами, разрывы коэффициентов Ьц могут иметь место лишь на асимптотических кривых поверхности плен­ ки, а это означает, что линия разрыва этих коэффициентов не может проходить через точки эллиптического типа, где R > 0.

3~1

3.Жидкая пленка. Ослабим связи, рассмотренные в предыд

ных направления и произведение соответствующих им собствен­ ных чисел метрического тензора G—A - Л*, а каждое из этих чи­ сел было детерминировано лишь в бесконечно малом интервале времени (модель вязкожидкой пленки). Поскольку при этом каждое из собственных чисел в отдельности недетерминнровано в конечном интервале времени, то сопутствующей системы коор­ динат здесь уже не существует и можно говорить лишь о мгно­ венно-сопутствующей системе (см. § 3, п. 2). Однако в любой момент времени может быть построена полугеодезическая систе­ ма координат ярь ф2:

Здесь Л,1, Яг— собственные числа, соответствующие детерминиро­ ванным собственным направлениям тензора G=A-A*. Тем са­ мым определен аффинор А0, сопоставляющий единичный декартовый базис егестественному базису поверхности Т1°= <?г/дфь т2°= dr/dtp2, T3°=N, где N —- вектор единичной нормали к поверх­ ности, т. е. Ti=j40-ef. Введем также аффинор А сопоставляю­ щий базис т,° мгновенно-сопутствующему базису

Для аффиноров А0, А', конечно, справедливы все результаты, по­ лученные в § 2, п. 2. Для аффинора же А', кроме того, справед­

ливы формулы § 3, п. 2./Более того, J2 {А' А' ) = 1, так как. все изменение площади поверхности принимает на себя аффинор А0,

т. е. лишь Dev (А' А' ) определяет аффинор А'. Для аффинора Л0 имеют место геометрические соотношения совместности пере­ мещений и поворотов типа (9) и (10):

Кодацци. Их запись в полугеодезической системе фь ф2 принима­ ет вид

32

Для аффинора А' геометрические соотношения совместности пе­ ремещений и поворотов в силу (22) и (23) могут быть записаны в виде

Для получения кинематических соотношений введем скорости

где v — абсолютная скорость точек пленки, v° — переносная ско­ рость этих точек вместе с поверхностью пленки, и — относитель­ ная скорость точек по отношению к пленке, т. е. по отношению к полугеодезической системе координат грь ф2. Так как

to v=v° + u. Теперь кинематические соотношения совместности перемещений и поворотов принимают вид

Здесь u= u (фь ф2), так что операции div и и rot и берутся по по­ верхности пленки, со' — вектор, соответствующий кососимметрич­ ному тензору со', определяемому из соотношения

такую двумерную модель гибкого тела, в которой сопутствующая система координат определена в любой момент времени, но фор­ ма соответствующей поверхности недетерминирована. Для этого достаточно оставить недетерминированной элементарную пло­ щадь поверхности, т. е. величину

~ _ дт дт

12~ dqx ‘ dq2 ’

и уравнение связи вместо (16) записывать так:

ние единичного вектора касательной к нити т=5г/дф может быть определено по отношению к системе фь фг тензором поворота от­ носительно нормали N, причем

где ср — угол поворота касательной к нити т относительно норма­

Таким образом, тензор В' может быть построен по геодезиче­ ской кривизне нити посредством (35) и с учетом (37) и (38) с точностью до своего значения в исходной точке ф= 0.

3* 35