Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Теперь вместо формулы (6) для нити на поверхности можно получить

ф(<7. О

Г= Г009+ J м (Sф) • Л+ (Гф) d-q■А00 (0 • В \ (t) е,. (I - 4-39)

ляющий поворот элемента нити ф= 0 относительно соответствую­ щей нормали к поверхности пленки N (ф= 0); А00 (t) — значение тензора А0 при ф= 0.

Итак, уравнение движущейся на пленке нити в силу (39) мо­

Здесь, как и в (4), v°= dr {^,t)!dt. Кососимметричный тензор со соответствует угловой скорости поворота элемента нити относи­ тельно нормали и имеет полугеодезические координаты в виде следующей матрицы:

причем <ог =d(p/dt, так что в силу кинематических соотношении совместности поворотов

Кинематическое соотношение совместности перемещений для те­ чения нити вдоль своей фиксированной формы сохраняется в ви­ де (2). Аналитические выражения связей, определяющих сово­ купность нити и пленки, состоят из уравнений связи для пленки, взятых в одной из форм (16), (32) или (33), уравнений связи для нити (7) и дополнительного уравнения 8[(дг/<3ф) • N]= 0, вы­ ражающего факт движения нити по поверхности пленки.

§5. Модели составных тел

1.Определения. Приведенные выше модели сплошных ср рассматривались как континуумы, составленные из множества

точек. Введенные в предыдущем параграфе одномерные и дву­ мерные модели гибких тел позволяют строить трехмерные среды как континуальные совокупности кривых или поверхностей. В первом случае получаем модели волокнистых, во втором слу­ чае слоистых тел.

36

2. Модель волокнистого тела. Волокнистым телом будем на­ зывать множество нитей, образующих трехмерный континуум. Если это множество никак не упорядочено, т. е. отсутствует та­ кая упорядоченность, которая является инвариантом движения, то волокнистое тело распадается на совокупность свободных (не взаимодействующих) нитей. Положим, что совокупность нитей, образующих волокнистое тело, допускает построение семейства дифференцируемых поверхностей ф! = const, где ф! = ф — дуговая координата, входящая в уравнение нитй (4—1) (причем 15г/<9ф | = 1). Допустим далее, что положение точек пересечения каждой нити с каждой построенной поверхностью молено упоря­ дочить координатным способом, что равносильно существованию сопутствующих координат ф2 = ^2, фз= 7зТогда существует си­ стема координат, инвариантная относительно движения и состоя­ щая из двух сопутствующих координат ф2 = 92. фз—cjz и одной координаты фь не являющейся сопутствующей и связанной с q\ соотношением ф1= ф 1 (<7ь0Такую модель будем называть твер­ доволокнистым телом. Ясно, что если скорость течения нити вдоль фиксированной формы отсутствует, т. е. и= 0, то ф] = <71 и твердоволокнистое тело превращается в твердое деформируемое тело. Если же и=4=0, то сопутствующей системы координат, ин­ вариантной относительно двшкения,' в волокнистом теле не су­ ществует. Систему координат фь ф2, фз будем называть квази­ сопутствующей. Введем в твердоволокнистом теле аффинор А, сопоставляющий декартовому базису егквазисопутствующий ба­ зис дг/дфг=Тг°=Л-е, (т2°= т2, тз°=тз, Ti°=;4=Ti). Для аффи­ нора А остаются справедливыми выражения (2—21), (2—27) — (29), (2—32), связанные с геометрическими соотношениями сов­ местности перемещений и поворотов:

37

Формулы для кинематических соотношений совместности пе­ ремещений и поворотов несколько отличны от таковых для твер. дого тела. Как и в случае нити, положим здесь v = v°+ и, где

причем v — абсолютная скорость точек тела, v° — переносная ско­ рость точек тела вместе с волокнами-нитями, и — скорость отно­ сительного течения точек по волокнам.

Для скорости v° имеют место соотношения

При использовании формул (10) следует иметь в виду соот­ ношения совместности, связывающие Gij и получаемые подста­ новкой (4) в (3). Заметим, что в отличие от модели твердого те­ ла здесь остаются недетерминированными величины

Ослабим введенные в твердоволокнистом теле связи, потре­ бовав, чтобы сопутствующие координаты ф2 = 92, фз= 9з имели место лишь в бесконечно малом интервале времени, т. е. были мгновенно-сопутствующими. При этом в качестве ф2 и ф3 можно выбрать полугеодезические координаты поверхностей ф1= const. Полученная таким образом модель представляет собой вязково­ локнистое тело. Геометрические соотношения совместности пере­ мещений и поворотов могут быть для этого тела записаны так:

причем dr/dq2=A ■<7г/5ф2, dr/dqs=A • 5г/<Зф3. Кинематические со­ отношения совместности перемещений и поворотов остаются в ви­ де (6), (8), (9)'с учетом (7).

Формулу (5) здесь удобнее записывать «в скоростях»: 4>з Фз

V — V000 + ш000 X (г Гооо) + J | ^ 3 (12) ез +

где tJji =ipi (<7i, t). Ускорение а может быть дано в виде

Аналитическая формулировка связи для вязковолокнистого тела записывается так:

И здесь в отличие от модели вязкой жидкости остаются недетер­

скорости v°, лежащая в плоскости, касательной к ф! = const при

Здесь связь между волокнами наиболее слабая и состоит в де­ терминированности в бесконечно малом интервале времени тех индивидуализированных площадей, которые получаются в сече­ ниях i|)i = const. В этом случае остается лишь одна сопутствую­ щая координата <71, в то время как сопутствующих координат q2 и qz вообще не существует. Вместо них, конечно, можно ввести

39