Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Уравнения движения сплошных сред

§1. Принцип наименьшего принуждения

1.Формулировка принципа. Рассмотренные в предыдуще главе модели сплошных сред предполагают использование для их описания таких функций, которые могут не быть дифференци­ руемыми и даже непрерывными на всем множестве их задания. Это, естественно, исключает возможность применения в общем случае аппарата дифференциальных уравнений для изучения движения таких сплошных сред. '

Чтобы освободиться от чисто математических требований, на­ кладываемых на функции, описывающие движение сплошных

сред, воспользуемся принципом наименьшего принуждения, рас­ пространив его на случаи обобщенных связей, рассмотренных в предыдущей главе. С этой целью введем неотрицательную ска­ лярную функцию р= р (г) и назовем ее плотностью среды, если

\pdV=m, v

где т — масса в объеме V физического евклидова пространства. Согласно принципу наименьшего принуждения действитель­ ное движение г (г0, в каждый фиксированный момент времени

отсутствия обобщенных связей, начиная с момента времени t до

описывающих движение каждой точки сплошной среды в отдель­ ности в предположении, что эти точки не взаимодействуют меж-

41

ду собой и подвержены лишь действию внешних сил F (г, г, t) , отнесенных к единице объема dV. Таким образом, если для сплошной среды любой физической природы сформулированы аналитические выражения связей типа (I—2—36), (I—3—19) и т. д., то истинное движение может быть найдено минимизаци­ ей функционала (1) в классе функций, удовлетворяющих соот­ ветствующим связям. Следовательно, для модели твердого тела минимизация должна проводиться в классе дифференцируемых

лишь требованию непрерывности div v, и т. д.

Итак, использование минимизации функционала (1) для оты­ скания уравнений движения сплошной среды не требует от иско­ мых функций г(г0, t), v(r0,t) непрерывности по г0 и вообще не накладывает на эти функции требований чисто математического характера. Следует лишь еще раз подчеркнуть, что если в силу наложенных связей искомая функция может не быть непрерыв­ ной (а точнее, кусочно-непрерывной), то в (1) следует от интег­ рирования по Риману перейти к интегрированию в более общем смысле.

2. Следствия принципа наименьшего принуждения. Положи что в рассматриваемом бесконечно малом интервале времени, фигурирующем в формулировке принципа, функции г* (г0, t) дважды дифференцируемы по t. Тогда в этом интервале времени

где а* = д2г* (г0, t)/dt2— возможные ускорения точек, допускае­ мые связями. Здесь учтено, что v+=v*.

Допустим, что в рассматриваемом бесконечно малом интер­ вале времени производные <3г*(г0, t)/dt разрывны. Тогда

г*(г0, t) \tt+dt= V* dt, r+(r°, t)\/+df= v +dt,

42

Если производные dr*(r0, t)/dt разрывны по времени лишь в не­ которых частях рассматриваемой области, то удобно перейти к минимизации функционала вида

где V — область существования ускорений а*, причем V 'dV , t0— произвольный постоянный множитель, имеющий размерность времени.

3.Вариационные формулировки принципа. Из минимума

в(4) следует, что

оФа= У (р а — F ) ■о a* d 1 /= 0.

Выбирая вариации 6r* так, чтобы они обращались в нуль в не­ которые заранее фиксированные моменты времени t\ и t%, полу­ чаем

иv

что соответствует принципу Гамильтона.

Заметим, что вариационные формулировки типа (8) явля­ ются менее общими, чем функциональные формулировки (I),

(4) — (7), так как требуют непрерывной зависимости функциона­ ла от г*, v* или а*. Кроме того, все выкладки данного пункта предполагают непрерывность функций v*(r), а* (г), в силу кото­ рой можно интегрировать в смысле Римана и использовать из­ вестные правила интегрирования по частям, а также менять по­ рядок интегрирования. Следовательно, использование формули­ ровок типа (8) возможно лишь для определенного типа сплош­ ных сред, связи которых гарантируют непрерывность функций v*(r) или а*(г).

43

§ 2. Вывод дифференциальных уравнений равновесия сплошных сред

1. Общий случай. Для случая равновесия сплошной среды образующей односвязный континуум, можно так ввести функцию г(г0), что она будет однозначно-дифференцируема. Поэтому для любых сплошных сред имеют место такие же связи, как и в слу­ чае твердого тела, т. е. связи типа (I—2—36), причем функции г(г0) дифференцируемы. Следовательно, можно использовать, например, принцип Гамильтона (8) или вытекающий из него в случае равновесия принцип возможных перемещений

=dr/dr0), отнесенное к декартовым осям. Нетрудно проверить, что если перейти к другим осям, то множители Тц изменятся, преобразуясь по тензорному закону. Следовательно, Тц можно рассматривать как декартовы координаты некоторого тензора Т. Проинтегрируем (2) по Уо и вычтем из (1):

где Tn=T • n, n — единичный вектор нормали к поверхности а0, ограничивающей объем V0. Возвращаясь к (3), получим

44