Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

матичеокой школе, основоположником и создателем которой является Чебышев.

Теория нанлучшего приближения функций в настоящее время нашла широкое практическое применение в экономике и технике. Круг конкретных задач, для разрешения которых Чебышев ее создал, значительно расширился, а эффективные практические методы неустанно разрабатываются.

В связи с появлением ЭВМ ученые, работающие в этой области, начинают все чаще и чаще обращаться к работам Чебышева. На праздновании 200-летнего юбилея Академии наук СССР, а также на заседании, посвященном 50-летию со дня смерти Чебышева, многие ученые говорили о настоятель­ ной необходимости самого полного и тщательного изучения научного .наследия этого выдающегося математика (акаде­ мики Н. Г. Бруевич, И. И. Артоболевский и др.).

Основная установка Чебышева состоит в следующем: «Практическая деятельность человека представляет чрезвы­ чайное разнообразие и для удовлетворения ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же за­ дачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по воз­ можности большей выгоды». [15]

Из этой оснозной установки вытекает лейтмотив всех ра­ бот Чебышева в области теории наилучшего приближения функций — заменить точное решение задачи приближенным так, чтобы погрешность, получающаяся при этой замене, бы­ ла наименьшей.

В 1946 году академик В. С. Немчинов изложил систему статистическо-математических вычислений в полиномах Че­ бышева, позволяющую производить все расчеты на ЭВМ. [10]

Необходимо упомянуть и работу В. И. Хотимского [13], в которой даются весьма удобные таблицы для нахождения уравнений параболических кривых.

Та же задача — упрощения вычислений при использовании метода наименьших квадратов — рассматривалась в работе «О связном анализе статистических рядов», написанной груп­ пой авторов — бывших студентов статистического отделения МГУ: Боярским, Писаревым, Старовским под руководством профессора Б. С. Ястремского. [19].

Весьма значительными представляются работы советских ученых Н. С. Четверикова — представителя «чупровской» школы и В. Д. Пирятина из Харьковского университета.

М. В. Игнатьев и Н. С. Четвериков составили и опубликова­

10

ли очень удобные таблицы множителей для вычисления пара­ метров параболических уравнений. 1

В 1963 году вышла книга Н. С. Четверикова [17], в кото­ рой помещена небольшая по объему, но весьма содержатель­ ная статья «О технике вычисления параболических кривых». В этой статье приводятся те же таблицы множителей.

В. Д. Пирятин дает подробную разработку формул, уп­ рощающих технику вычислений при использовании метода наименьших квадратов, и приводит общее решение полиномов степени т. [11]

Д. Р. Каустон предлагает таблицы и способ их использо­ вания для построения полиномами кривых регрессий .по ме­ тоду наименьших квадратов. Таблицы дают возможность подбирать многочлен до 4-го порядка только при двенадца­ ти равноотстоящих значениях абсцисс, но тем не менее его работа имеет общий характер. 2

В последнее время в НИИ ЦСУ СССР группа научных сотрудников под руководством Е. А. Александрова вела ра­ боту эвристического характера с целью испытания способа выравнивания динамических рядов (экспериментальная пси­ хология). Группе испытуемых студентов были предложены задачи на выравнивание с целью объединить прошлый опыт или привычки в законе гомогенности (опыт в психологическом поле).

Был разработан метод трех параметров, метод ветвящихся процессов и т. д. Полученные кривые математического урав­ нения не имеют, упрощения в вычислениях при ручном счете

Оказалась возможной значительная формализация вычис­ лительного процесса. Это обстоятельство намного расширило круг задач, допускающих практическое решение. Однако из этого вовсе не следует вывод об эффективности ЭВМ во всех случаях. Известно, что надежды, возлагавшиеся на внедрение ЭВМ, оправдывались не всегда.

Поэтому к помощи ЭВМ следует прибегать только тогда, когда это экономически обосновано.

§ 3. Постановка задачи

Пусть дана система, состоящая из т функций

2 «Биометрике», Нью-Йорк, 1968, № 2.

11

определенных на отрезке [а, в] и линейно независимых, т. е. таких, что ни одна из этих функций не является линейной комбинацией остальных. Выражение вида

аппроксимации таких функций являются: 1) наилучшее сред­ нее приближение (метод наименьших квадратов) и 2) наи­

f{xt)— Pm- 1 (Xi)

;= 1

называемая квадратичным отклонением.

Метод наименьших квадратов заключается в минимиза­ ции величины е.

В качестве системы { <р,-(л')} на практике используются системы функций двух видов

а) фо(х) = 1, (pi (х) =х, ..., <pm-i (х) = х т~1 ;

б) ортогональные полиномы Чебышева.

Каждая из этих систем применяется в методе наимень­ ших квадратов.

В случае а) обобщенным полиномом является обычный

12

Для достижения минимума квадратичного отклонения приравняем к нулю частные производные от величины

приняты ортогональные полиномы Чебышева, принципиаль­ но не отличается от разобранного выше случая а), однако, имеет преимущества при машинном и ручном счете.

13