Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

П

если ^ ф (л;) •ф (лу) = 0 i=s0

Система функций { <р,- (л )} называется ортогональной на данном множестве X, если все функции системы попарно ор­ тогональны.

Для случая равноотстоящих узлов задача минимизации суммы квадратов отклонений решена Чебышевым в работе «Об интерполировании величин равноотстоящих» [15], где Чебышев вводит линейную замену переменной таким обра­ зом, что значения узлов представляются натуральными чис­ лами.

Для этого случая В. И. Хотимским впоследствии были вычислены таблицы, определяющие числовое значение поли­ номов Чебышева и сумм их квадратов (числа Чебышева) [13].

При вычислениях с помощью таблиц ряд значений аргу­ мента заменяется рядом этих чисел.

Для полинома первого порядка (прямая линия) исполь­ зуется один ряд чисел Чебышева — pi,

У\= а+ Ррь

для полинома второго порядка (квадратичная парабола) бе­ рется два ряда чисел Чебышева — р\ и рч, Уч—о.+^>Р\+УР2 , а для полинома третьего порядка (кубическая парабола) бе­ рется три ряда чисел Чебышева — р\, рч и р3, г/3= а + р /?1+ + У/?2+ брзРяды чисел Чебышева в таблицах приводятся для значений аргумента от п = 5 до л = 50 [13].

Каждое число Чебышева умножается на соответствующее значение функции «у», все .произведения суммируются, и

14

Применение таблиц с использованием чисел Чебышева позволяет упростить вычисления и дает возможность после­ довательно повышать порядок полинома, причем результаты всех предыдущих вычислений полностью используются при дальнейших расчетах. Теоретическое обоснование метода на­ именьших квадратов при помощи полиномов Чебышева про­ изведено академиком В. С. Немчиновым [10].

Приведем пример аппроксимации (наилучшее среднее приближение), когда за основную систему функций приняты ортогональные полиномы Чебышева.

таблицы № 1. Обработаем эти данные в полиномах Чебыше­ ва для равноотстоящих величин.

Для перехода к натуральному ряду чисел введем пере­ менную х. В табл. 1 приведены числа Чебышева для равноот­ стоящих величин Р 1, Р2, Р3 и суммы их квадратов при п = 10.

хорошо производится аппроксимация, вычислим коэффициен­ ты для полиномов 1, 2 и 3 порядков.

Так как полиномы Pt — симметричны, можно вести даль­ нейшие вычисления только для верхней части ряда, но часто­ ты нужно предварительно преобразовать. Для нечетных по­

Полином 3-го порядка Уз= 100+4.44Р, + 0,165Р2— 0,015Р3

№

Полином Pm—i {x) = a l + a'\ x-\~... -\-an-i x m~1,

построенный с этими коэффициентами, называется полино­ мом, осуществляющим на отрезке [а, в] наилучшее равномер­ ное приближение функции f(x). Говорят также, что полином

1 (х) на отрезке [а, в] наименее уклоняется от данной функции f(x) (по сравнению со всякими другими полинома­ ми той же степени), при этом

Дот- i = min { max|/(x)i°m_i (л)| j ,

называется наилучшим равномерным приближением данной функции / (дг) на отрезке [а, в] посредством полиномов сте­ пени т— 1.

Если Р (х) — произвольный полином (т — 1)-й степени, а Рт - 1 (х) — полином наилучшего равномерного приближе­

max |f {х) — Pm_i (.v) |> max |f (л') — Р*т - 1(л) |= Am-i

Геометрически это означает следующее: если построить три кривые lo, h и /2 по уравнениям

l0:y = f(x); у = /(jc)-f- Am_ i ; y — f (х)— Дт-1

18

обязательно выйдет за пределы этой области. Иначе (рис. 2)

кривая у = Дт-i — f(x) — Р*т —1(х), а ^ х - ^ Ь

не выходит за пределы горизонтальной полосы шириной

бирается так, чтобы кривая у —Kn-i = f{x ) —P*m-\(x)уместилась в горизонтальной полосе наименьшей ширины, симметричной относительно оси О х\ при среднем приближении полином Р т - 1 (лг) надо подобрать так, чтобы величина

называемая средним квадратичным отклонением, обращалась в минимум (рис. 2).

При среднем приближении кривая у ~ Р т-\{х) близко подходит к кривой y = f(x ), хотя в отдельных точках возмож­ ны большие отклонения (рис. 3). При равномерном прибли­ жении эти отклонения сделаны наименьшими (рис. 3).