Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

Мы видели в § 4, что коэффициенты полинома Pm_ i(x), осуществляющего наилучшее среднее приближение данной функции, могут быть найдены из уравнений (1, 4).

общего метода, как для построения полинома Рт-\ (*)• П. Л. Чебышевым было доказано, что «для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], существует единственный

обобщенный полином P*m- i (х), осуществляющий равномер­ ное наилучшее приближение; указанный полином характери­ зуется тем необходимым и достаточным свойством, что раз­

ность f ( x ) — Р т* - 1 (х) достигает на отрезке [а, в] своего на­ ибольшего модуля L по крайней мере т+ 1 раз, последова­ тельно меняя знак» [1].

В некоторых простейших случаях это утверждение позво­ ляет решить задачу о нахождении такого полинома до кон­ ца.

Однако, как говорит акад. С. Н. Бернштейн: «В общем случае о точном решении этой задачи не может быть и ре­ чи»

1 Имеется в виду ручной счет.

20

Теперь, опираясь на положения первой главы, можно пе­ рейти к изложению основного материала с использованием понятия о квадратичных формах, отмечая, кстати, что изложе­ ние метода наименьших квадратов с точки зрения математи­ ки можно вести различно. Французский математик А. Андуайэ применил для этого теорию квадратичных форм, которая занимает видное место в работах Эрнесто Чезаро [15] и Н. И. Идельсона [8].

Г ЛАВА II

СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

§ 1. Квадратичные формы

Определение нормальной системы

Нормальные системы встречаются при решении многих вопросов экономико-статистического анализа, главным обра­ зом при использовании метода наименьших квадратов для аппроксимации и обработки эмпирических данных.

Прежде чем ввести определение нормальной системы, да­ дим понятие квадратичной формы.

Целый однородный полином второй степени от п перемен­ ных называется квадратичной формой этих переменных.

В общем случае квадратичная форма имеет вид -

21

Наоборот, для всякой симметрической матрицы ||а;у|| можно построить соответствующую квадратичную форму

( 2, 2) .

Квадратичная форма (2, 1) называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положи­ тельные (отрицательные) значения, обращаясь в нуль лишь при Xi=X2 = . . .= хп =0. Подробное изложение этого вопроса можно найти в работе [7].

Определение. Линейная система SП

i=\

называется нормальной, если:

1. Матрица коэффициентов А — || |) — симметрическая.

2.Соответствующая квадратичная форма

ПП

и= ^ ^ a ^ X i X j — положительно определенная. i=l ;=1

§ 2. Суммы степеней натуральных чисел

Числа Бернулли

Существует два главных направления в практике аппрок­ симации функций методом наименьших квадратов.

1.Приближение осуществляется с использованием орто­ гональных полиномов.

2.Ортогональные полиномы не используются.

Отдавая должное первому направлению, мы избрали вто­ рой путь, применив для решения систем нормальных уравне­ ний формулы сумм степеней натурального ряда чисел в раз­ личных модификациях.

Ряд натуральных чисел принадлежит к таким фундамен­ тальным творениям человеческой культуры, что изучение свойств этого ряда, в частности, нахождение формул сумм степеней натуральных чисел и сумм четных степеней нату­ ральных и нечетных чисел привлекло внимание многих круп­ нейших математиков и статистиков.

Еще в XVII веке И. Фаулхабер (1580— 1635) в «Продол­ жении нового чудесного искусства» привел суммы одиннадца­ ти первых степеней рядов вида:

1г + 2' + 3' + ... + /гг .

Хотя вывод у Фаулхабера отсутствовал, можно .полагать, что он составил такие суммы для первых значений i. Позднее

22

Фаулхабер вычислил суммы степеней целых чисел до Еп17 и при этом получил первые восемь чисел Бернулли. Фаулхабер приводит формулы этих сумм в виде многочленов, которые он не смог разложить на множители, так как теорема Безу появилась позже.

Профессор Франк Александр Росс из Колумбийского Уни­ верситета пишет, что наиболее известными таблицами для суммирования степеней первых п натуральных чисел являют­ ся «Таблицы для статистиков и биометриков» под редакцией Карла Пирсона, в которых имеются суммы первых семи сте­ пеней натуральных чисел до я=100 включительно. 1 Росс го­ ворит, что он не знает подобных таблиц для сумм степеней нечетных чисел и предлагает несколько простых формул для подсчета таких сумм до 56 включительно. Таким образом его небольшой по объему реферат является попыткой «закре­ пить» приоритет в этом вопросе.

Внашей работе кроме формул для сумм степеней первых

пнатуральных чисел применены аналогичные формулы для сумм четных степеней натуральных чисел и сумм четных сте­ пеней нечетных чисел до 5ю включительно.

При дальнейшем изложении нам потребуется вычисление

следующих сумм:

Общая формула для отыскания таких сумм имеет вид [16]

В данной работе мы несколько раз будем применять числа Бернулли, .получающиеся из многочленов Бернулли. Эти мно­ гочлены играют большую роль в математическом анализе

1 Ф. А. Росс. «Формулы для облегчения расчетов при анализе вре­ менных рядов» Журнал американской статистической ассоциации 1425, март

23

и имеют ряд важных приложений; о них существует обшир­ ная литература, в которой приводятся специальные таблицы чисел Бернулли.

Я. Бернулли при изучении свойств сумм степеней после­ довательных натуральных чисел с натуральными показате­ лями получил формулы многочленов, носящих его имя. Фор­ мулы для первых десяти многочленов имеют вид

В0(х) = 1

в1(х) = x ~ Y

В2(х) = х 2— + ~

в ч(х) = х 7 — - j xS + \ х ь — Y x3 + х

24

Приведем значения нескольких чисел Бернулли 1 (пропу­ щены числа, равные нулю).

Все Бернуллиевы числа с нечетным значком равны нулю,

1

кроме В1— Бернуллиевы числа с четными значками име­

ют поочередно знаки плюс и минус.

§3. Системы нормальных уравнений

сравноотстоящими узлами 2

(общий случай)

1. Постановка задачи

Очень многие вопросы теории и практики из области ста­ тистики, экономики и техники приводят к следующей задаче. Для п значений аргумента

известны п значений «экспериментальной» функции

( 2, 6)

Требуется найти аналитическое выражение «теоретиче­ ской» функциональной связи

дающее в некотором смысле наилучшее приближение экспе­ риментальной функции.

После того как вид теоретической функциональной связи (2, 7), исходя из конкретных соображений рассматриваемо­ го вопроса, избран в виде семейства функций, зависящего от т параметров

25