Файл: Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении.pdf

ции и существенности влияния неучтенных параметров. Поэто­ му получаемые расчетом по статистическим данным коэффици­ енты уравнения регрессии всегда нуждаются в оценке точности и надежности их определения. Наибольшую трудность в кор­ реляционно-регрессионном анализе статистических данных со­ ставляет правильный выбор формы уравнения регрессии. Не­ правильный выбор формы уравнения регрессии может сказать­ ся в ряде случаев на степени адекватности принятой модели истинному характеру зависимости.

Для двухмерных корреляционных зависимостей выбор формы уравнения регрессии может быть облегчен построением эмпири­ ческой линии регрессии. Она представляет собой ломаную ли­ нию, проведенную на кореляционном поле и соединяющую по­ следовательно точки, отвечайте парным значениям составляю­ щего параметра и среднего значения результирущего параметра.

Для лучшего соответствия оцениваемой регрессионной зави­ симости статистическим данным иногда требуется двумерные регрессионные зависимости определять либо в виде параболы, либо в виде гиперболы. В этих случаях уравнения регрессии име­ ют вид

X 1 = b0-\-b'12X 2-\-b''12X l — парабола второго порядка;

X x = bQ-\-Ь[2Х Ь " пХ\-\- Ь[2Х1 — парабола третьего порядка;

Выбор криволинейной линии регрессии должен быть доста­ точно обоснован, так как неправильный выбор влечет за собой и неправильную оценку тесноты корреляционной зависимости— она будет заниженной.

Исходя из особенностей взаимовлияния различных парамет­ ров, допускаемой степени разброса (ухода) параметров много­ мерная корреляционная связь для авиационных двигателей мо­ жет быть охарактеризована либо линейным уравнением регрес­ сии, либо логарифмическим уравнением регрессии. Линейное уравнение регрессии целесообразно записывать в виде

19

могут быть приведены к виду выражения (27). Прологарифми­ ровав выражение (28), получаем

При представлении численных значений зависимого и неза­ висимого переменных в стандартизованном масштабе уравнения регрессии имеют вид

тизованной переменной tu соответствующее заданным значениям i2, t3, .. ., tm. Коэффициенты |32, Рз, •••, Pm показывают, на какую часть значения сигмы изменилось бы среднее значение зависи­ мого переменного, если бы соответствующий параметр увеличил­ ся бы на одну сигму, а прочие составляющие параметры остались без изменения. Поскольку все переменные выражены в сравни­ мых единицах измерения (сигмах), то коэффициенты р2, Рз . . .,

. . ., Рпг показывают сравнительную силу влияния изменения каж­ дой переменной на изменение зависимой переменной.

Коэффициенты уравнений регрессии определяются решением системы нормальных уравнений. Порядок составления и реше­

20

Для логарифмических уравнений регрессии выражение (30) запишется в виде

2 (^l ' ^0 ^12.34. . . т ^ 2 ^13.24 3 m f ~ 111'П.

Приравняв нулю первые частные производные по неизвестным параметрам bj, после элементарных преобразований можно по­ лучить систему нормальных (т— 1 ) уравнений:

(31)

bo 2 ^ + V 34...m 2 Х **т + ^3.24...mУ , Х 3Х„

+ ь 1тМ. . . ^ У 1х т2 = У 1х тх 1.

Дополнительно составляем уравнение вида

иЬ 0-\- Ь12 3i_ т 2 Х 2 -\~ ^13.24...т 2 “Г ^lm.23...;n—12 ^ т = 2 ^

1.6. Составление системы нормальных уравнений для любого числа неизвестных

Система нормальных уравнений для т неизвестных состав­ ляется следующим образом.

1. Выписывается уравнение регрессии без свободного члена в форме отклонений от среднего значения каждой случайной ве­ личины. Такое уравнение будет иметь вид

2. Каждый член уравнения (32) умножается на коэффициент первого члена, т. е. на .г2. Тогда получается новое уравнение

3. Постоянные коэффициенты каждого члена уравнения (33) записываются в форме суммы по числу наблюдений. И тогда первое уравнение системы нормальных уравнений будет иметь вид

^12.34...т 2 Х 2~*Г ^13.24.. . т 2 Х 2Х 3 + •••■ ■^lm.23...m —l 2 Л*2Х т — 2 Х 1Х &

(34)

21

Таким образом, порядком, указанным в пи. 3, 4, получается система нормальных уравнений с (т— 1) неизвестными для оп­ ределения всех коэффициентов регрессии. Последним уравнени­ ем является уравнение, по которому определяется свободный член уравнения регрессии, представляющий собой разность меж­ ду средней величиной результирующего параметра и суммой про­ изведений средней величины каждого составляющего параметра на соответствующий коэффициент регрессии:

Аналогично указанному порядку может быть составлена си­ стема нормальных уравнений и для случая, когда расчет ведется с использованием абсолютных значений случайных величин. Эта система имеет вид

+* l » . 2 3 . . . » - l 2 ^ = 2 ^ 1 '

Система нормальных уравнений при использовании стандар­ тизованного масштаба имеет вид

22