Файл: Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении.pdf

Из этого следует, что каждый из параметров (32, (Зз, •• Рш, ха­ рактеризующий зависимость результирующего параметра от со­ ответствующего составляющего параметра, равен коэффициенту парной корреляции результирующего параметра с одним из сос­ тавляющих параметров за вычетом влияния остальных состав­ ляющих параметров, действующих косвенно через влияние на этот параметр. Абсолютная величина параметра позволяет су­ дить об относительной силе влияния каждого составляющего па­ раметра; знак минус указывает при этом на обратную зависи­ мость.

Параметры уравнения корреляции в натуральном масштабе вычисляются по, формулам

Свободный член уравнения корреляции после определения зна­

—алгебраическим решением;

—механизированным путем с использованием ЭВМ. Наиболее достоверные результаты, особенно при решении

системы из четырех и более уравнений по большому количест­ ву наблюдений, могут быть получены только на ЭВМ.

Алгебраическим путем целесообразно решать системы с чис­ лом уравнений не более четырех. Первый путь алгебраического решения заключается в том, что дополнительными преобразова­ ниями обеспечивается решение уравнения с одним неизвестным,

23-

а идя в обратном , порядке, находят значения всех остальных неизвестных. Второй путь алгебраического решения основан на использовании определителей.

Ниже приведены типовые порядки алгебраического решения следующей системы уравнений (записанной в форме отклонений от среднего значения каждой случайной величины):

Ввиду сравнительной громоздкости решения указанной си­ стемы уравнений в общем виде, произведем ее решение приме­ нительно к следующим уравнениям:

Для нахождения значений коэффициетов 612.з4; 613.24; 614.2з над уравнениями последней системы производятся действия в сле­ дующем порядке.

1. Все члены уравнения (а) делятся на постоянный коэффи­ циент при 612.34, а знаки заменяются на обратные

2. Все члены уравнения (а) умножаются на абсолютное зна­ чение коэффициента при втором члене уравнения (а')

3. Из уравнения (а'') вычитается уравнение (б)

4. Делим все члены уравнения (г) на коэффициент при пер­ вом члене

5. Умножая все члены уравнения (а) на абсолютное значе­ ние коэффициента при третьем члене уравнения (а'), т. е. на

4,545:

6. Вычитаем из (6) уравнение (а"')

24

7. Умножаем все члены уравнения (г) на коэффициент при втором члене уравнения (г'), т. е. на 0,3206:

8. Складываем уравнения (г") и (г'")

60,676&14.2з= —84,654.

Тогда

^14.23= — 1,395.

9.Подставляем Ьц.23= — 1392 в (г')

*>13.24 + 0,32(— 1,392) =2,757.

Отсюда

циентов £12.34, £13.24, £14.23 в уравнение для определения свобод­ ного члена, получим

6о=—213.

Тогда искомое уравнение регрессии, представляющее собой зависимость тяги на максимальном режиме от расхода воздуха через двигатель, диаметра реактивного сопла, температуры газов за турбиной, будет иметь вид

£>= — 213 + ЗО0В+ 3,2047*- 1,39а .

Система уравнений (а), (б), (в) может быть .решена и дру­ гим способом.

Разделим все члены каждого уравнения на коэффициенты при одной и той же неизвестной величине. Осуществляя это по отношению к £12.34, будем иметь

£12.34+ 2,666£13.24 + 4,545£i4.23 = 32,182;

£12.34— 29,227£13.24— 5,682^14.23= — 55,738; £12.34—3,333£i3.24+ 6,666614.23= 9,999.

Вычитая из второго и третьего уравнений первое, получим си­ стему двух уравнений с двумя неизвестными

31,893£i3.24+ 10,227£i4.23— 87,920;

5,999£ i3.24— 2,121 £14.23= 22, 183.

25

Тем же путем преобразуем эту систему к виду

При алгебраическом решении системы уравнений вторым путем неизвестное значение каждого коэффициента уравнения регрессии находится как частное от деления двух определителей. Составление и решение определителей осуществляется в следую­ щем порядке.

1. Вначале составляется определитель знаменателя, предст ляющий собой все члены левой части системы уравнений, на­ писанные в табличной форме:

2 Х22 ХйХ3..... ■2 Xn-x 'i

2 Л*2Л'з 2 Х3 ‘ ’' ~

Дэнам

^ Х3Хт Х3Хт" - 2 -^

2. Определитель числителя получается из определителя зн менателя заменой всех членов столбца при определяемом зна­ чении коэффициента уравнения регрессии на соответствующие значения членов правой части системы уравнений. Тогда, напри­ мер, определитель числителя для нахождения коэффициента 612.34... т будет иметь вид

3. Производится решение определителей высших порядков тем постепенного перехода к определителям более низших по­ рядков, используя следующее свойство: определитель порядка т равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраическое дополнение.

Алгебраическое дополнение некоторого элемента есть минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент,

26

есть число четное и с обратным знаком, если это число — нечет­

пересечении которых расположен этот элемент.

Таким образом, например, из определителя 3-го порядка по­

Получаемые в конечном итоге определители второго порядка ре­ шаются по схеме крест-накрест, т. е.

У4 У л'за4 =У4У 4-(У-

УА' з А'4 у 4

Покажем на примере предыдущей системы уравнений поря­ док определения коэффициентов уравнения регрессии.

27