Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 1
- 35 -
Так как рассматриваемая сумма является интегральной сум
ной для функции |
F[x) |
В |
интервале |
[o.,ü] |
, |
то |
|
|
6 |
|
|
|
|
Пример I . Найти работу, |
необходимую для растяжения винто |
|||||
вой пружины на |
10 см, если действущая сила |
|||||
пропорциональна удлинение пружины и для удли |
||||||
нения |
её на I |
см |
нужна сила |
З ^ Г . |
|
|
РЕШЕНИЕ, Примем |
ось пружины |
за ось |
ОХ |
, по |
||
местив начало координат в незакрепленном конце пружины в свободном состоянии.
По условию-задачи |
F = ІСХ |
( |
К |
- коэффи |
||
циент пропорциональности) |
и при |
0С=0, Оім. |
||||
сила |
F-Экг. |
, |
т . е . 3=0,Oikf. |
, |
||
Ц-Ъ00 |
и |
F-3DÖX |
. Следовательно, |
|||
= 300 ^ = %кгл.
• Пример 2. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из наполненной полусферической чаши, диаметр которой равен 4 м.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим сечение чаши плоскостью, перпендикулярной оси вращения (которую мы при-
|
|
|
- 36 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
няли |
за |
ось |
0 1 |
) |
на расстоянии |
X |
от |
верх |
|||
него |
края . |
|
|
|
|
|
fi-,і л |
|
|
||
|
Площадь |
этого |
сечения |
равна |
• |
На |
|||||
|
•>>•> |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
площадь рассматриваемого с е |
||||||
|
|
|
|
|
чения |
действует |
вес |
столба |
|||
|
|
|
|
|
воды, |
имеющего |
рассматривае |
||||
|
|
|
|
|
мое сечение своим основани |
||||||
|
|
|
|
|
ем и координату |
X |
|
высо |
|||
|
|
|
|
|
той, т . е . сила |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
где |
Ь |
- |
вес |
одной |
едини |
|
|
|
|
|
|
цы объема |
воды. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Эта сила моіет быть пред |
||||||
ставлена |
приложенной к центру |
тяжести |
площадки |
||||||||
и действующей по направлению оси |
ОХ |
, |
|
||||||||
Поэтому |
F(x) |
= ïi'iïy'lX |
|
и |
|
|
|
|
|||
но
следовательно,
г
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ШКОСТИ НА ВЕРТИКАЛЬ НУЮ ПЛАСТИНУ.
Пусть в однородную жидкость (плотность Ь |
) |
погружена вертикальная пластина формы криволинейной тра
пеции, |
ограниченной |
линиями l£~f(x) |
, lj-0 |
, |
X-Q, |
t X-h |
(система координат |
показана |
на |
|
|
37 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чертеже). Найдем давле |
|||||||||
ÇmttpxMtt гь жили»? t« У |
ние |
воды на |
эту |
гглаотину. |
||||||||
|
|
|
||||||||||
ci |
|
|
О этой |
|
целью |
разобьем |
|
|||||
|
|
рассматриваемую |
пластину |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
X |
f |
HIN |
на |
It |
|
частей |
прямыми |
|
||||
параллельными |
оси |
О У |
и |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
вчделим |
элементарную |
по |
|||||||
|
|
|
лоску, |
|
расположенную |
|
||||||
|
|
|
между |
пряными, |
проходя |
|||||||
|
|
|
щими через точки |
« t ^ . j |
||||||||
|
|
|
и |
£ц |
|
. Заменяя |
эту |
|||||
элементарную |
полоску |
прямоугольником |
с |
основанием |
|
|
|
|||||
|
|
и высотой |
у,., |
|
и |
считая, |
что |
|
||||
каждая точка этой полоски находится |
на |
расстоянии |
|
£ ѵ |
|
|||||||
от поверхности жидкости, найдем давление |
fl |
|
на |
эту |
|
|||||||
полоску: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма
дает приближенное значение искомого давления.
Предел, |
при П— |
и |
rtidX Û 3t-*- 0 |
, этой |
||
|
|
|
|
|
|
ч |
суммы, которая |
является |
интегральной сумкой для. функции |
||||
в |
интервале |
f0!,5j |
, |
естественно |
считать точ |
|
ный значением |
искомого |
давления, |
т . е . |
|
||
- 36 -
11 Пример. Труба, ленащая горизонтальна, наполовину наполне
на водой. Определить давление водьі на вертинальнус заслонку перекрывавшую трубу, если поперечный сечением трубы является круг с диаметром 2 it .
РЕШЕНИЕ. Вода соприкасается только с полукругом изображенным на •іертеяеі Т . к . гіолукруг оймметричен относительно оси ОХ , то можно найти давле ние на его правуг половину и потом Удвоить.
і
Выражаем lj |
через X |
из уравнения окружности |
j |
i |
P = 2S"J |
X\fF&dx=4j^fHt*dU-r)= |
- 39 -
|
НАХОІДЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯВЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ |
|
||||||
|
Пусть на |
плоскости J0\J |
дана система иатериаль- |
|||||
ных точек |
^ ( l „ { / J |
, |
MJ^.ljJ |
|
|
|
||
с |
массами |
tK1 |
, |
Пг |
|
ГП^ |
. Координаты |
Хс |
и |
у . с |
центра |
тяжести |
такой системы |
определяются |
фориу- |
||
ии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко доказать справедливость этих формул для системы,
состоящей из |
двух материальных |
точек |
X,, <jі) и |
-^^(^x.^t) |
0 массами |
и |
|
-Ч Hi. •л~9
I.
L |
I'M i |
