Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf

Скачать файл (1,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

«ой

интегралов:

Абсцисса "с" точки пересече

ния дуг находится из уравне

ния

^ ( ' ^ } =

| ч 1%)

•

<Для

нахождения

абсциссы

"с"

точки

пересечения дуг

нужно решить

совместно уравнения

у =

fj^j

^ft(±)

) .

Пример. Вычислить площадь

фигуры,

ограниченной

дугой

пара

болы

!^2:t*

(±ъО

) ,

прямой

РЕШЕВИЕ. Решая совместно урав

нения

t^ =

%*у-3

•

находим

абсциссу

точки

пересечения:

(вторая

точка

пересечения

отрицательной

абсциссой

нас нё

ЗГ"

интересует).

Очевидно, что абсцисса точки ß

пересечения заданной прямой с осью

ОХ

равна

Ь .

Вычислим

теперь

искомую

площадь:

і-

Плонадь

фигуры,

ограниченной

сверху

кривой

<j=£,(x)

снизу кривой

^ = £±(х)

как

показано

на чертеже,

оп-

-	2<i -
ределяется как разность	площадей двух криволинейных т р а
	пеций:

	Абсциссы " 0- " и " Ь •• нахо
	дятся из		совместного				решения
£	уравнений				^~ft		'№)	и
В заключение рассмотрим случай, когда			криволинейная					тра
пеция ограничена осьв О У	,	пряными				»
	(	Ы < Я	)	у	кривой		*	= W y )
	(уравнение			кривой		разрешено
	относительно				X	).
х = < р ф	Очевидно,		что		площадь такой
	трапеции		выражается				интегра
m	лом:
m

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

•jc + i	/ -	2= с	.
РЕШЕНИЕ. Решая			совместно
уравнения параболы				и пряной
f	= X
находим		точки	пересечения:
" ( I ,	I )	и 0», - 2 ) .		В данном^

случае искомую площадь удоб - ' нее определять следующим об-

pas ou:

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ, КРИВОЛИНЕЙНАЯ ГРА НИЦА КОТОРОЙ ЗАДАНА ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕ

НИЯМИ

Пусть	криволинейная	трапеция	ограничена	осью ОХ ,
прямыми X-Q.	,	( ft ^ б	) и кривой	заданной
уравнениями

Й этом случае в интеграле J у dx	можно сделать под
становку Xzztftt] . Тогда

t f и t	находятся из	уравнений	f f i j ^ u и	Y/^J=$ .
Пример. Вычислить площадь		эллипса j	X = dCo-!t	^yoj

V 0

лРЕШЕНИЕ. Т . к . эллипс симметри чен относительно обеих осей ко ординат, то достаточно вычис

JtX -X. лить	четвертую часть	его площа
ди,	расположенную в	первой чет

верти ( X >, О , lj>0 ) .

При ; х=о

if-

т . к . t -сьгс

Cos•

- 26 -

при	х=а	,	t^o
Следовательно,			когда	изменяется	в интервале
[о,	Ci] ,	t	меняется	в интервале	f j - , p j .
Итак,		IL	Ь
		IL	Ь

		и S - £ # - 6	к в . е д .
	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
	Рaccuотрип криволинейный				сектdp				,	ограничен
ный дугой		i ß кривой,	заданной	уравнением				p =		^!^f)
в	полярных	координатах,	и двумя	радиусами				векторам			ѴЛ
и	С б с	полярными углами		и	\|3		(	о	і <	^	) .
	g			Разооьеи				рассматриваемый
				сектор		на		И,		элементар
				ных частей,					имеющих такие
				форму		секторов. Пусть
				A *Д,		-		центральный угол
				элементарного						сектора,
				заключенного					между		р а
				диусами			векторами
				Заменяя			каждый			из	эле -

			- 2 7	-
ыентарных	криволинейных		секторов с		центральный углом лук
( #=1,І	И- )	круговым еектороы			с теп же центральный
Углом и радиусом		равным	р	, получим		ступенчатую фигу
ру, изоорашенную		на чертеже. Площадь кругового сектора с
центральным углом		Ü ^	и радиусам Д			равна -^^Af,
а площадь	ступенчатой фигуры			равна

За площадь криволинейного сектора ОЯВ мы примем

П + О»	Kzl	к
и«ві£д«^.».о
Т.к. под знаком предела	стоит	интегральная сумма, состав
денная для функции ^X~^t^-l		^)]*	• ^ и н т е р в а л е
U,p] ,10	^		ß