Файл: Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ния, в частности равные нулю, исследуя таким образом динамику рассматриваемого механизма в условиях, когда трение в парах с зазорами отсутствует либо имеется только сухое, жидкостное или квадратичное трение, либо их комбинация.

Выберем в качестве неподвижной системы координат прямо­ угольные декартовы координаты ХОУ, начало отсчета поместим

в точку О, относительно которой происходит вращение кривошипа,

а ось X направим вдоль прямой, по которой перемещается ползун.

Введем в рассмотрение две подвижные системы координат: х10 1у1

с началом в центре

подшипника кривошипа и x 3Osy3 с началом в

центре подшипника

ползуна (см. рис. 1). Оси подвижных систем

координат

направим параллельно осям неподвижной системы

( О л I Оз-ѵ'зі! ОХ, О^ЦОзУзЦ OY).

При выводе уравнений движения

с контактом

вместо декартовых

систем координат х101у1 и х 30 3у3

воспользуемся полярными (р^ ух) и (р3, у3), что позволяет записать

уравнения движения

в более простом

виде, при

этом

рх =

=

= const И Рз =

Д3 =

const.

механизм,

т. е.

механизм

Идеальный

кривошипно-ползунный

без зазоров, имеет одну степень свободы, положение всех звеньев такого механизма однозначно определяется заданием угла а. При наличии двух зазоров в соединениях 1—2 и 2—3 этот механизм получает дополнительно 2, 3 или 4 степени свободы в зависимости от того, сохраняется ли контакт в кинематических парах механиз­ мов или кинематическая цепь разомкнута. Возможны четыре вида движения рассматриваемого механизма:

I. С сохранением контакта во всех кинематических парах, в этом случае дополнительное движение механизма определяется

координатами Уі и Уз-

паре 2—3

и разрывом в

паре

II. С сохранением контакта в

1— 2.

В этом случае дополнительное движение определяется тремя

координатами у3 и хх, ух.

паре 1—2

и разрывом в

паре

III. С сохранением контакта в

2— 3.

Тогда дополнительное движение будет

определяться

также

тремя

координатами ух и х3, у 3.

 

 

 

IV. С разрывом в парах 1—2 и 2—3. В этом случае дополни­

тельное движение будет определяться четырьмя координатами хх,

Уи х3 и у 3.

•

 

 

 

При переходе от одного вида движения к другому (от контакт­

ного к бесконтактному

или

наоборот) необходимо

вычислить

на­

чальные условия для

соответствующих уравнений

движения

и

одновременно осуществить

преобразование декартовых координат

в полярные или наоборот. Например, при выполнении условия на­ рушения контакта в паре 1—2, т. е. при обращении нормальной составляющей реакции Rx в нуль начальные условия для уравне­ ний свободного движения в поле зазора А* определяются по форму­

лам:

 

 

дс° = Дх cos TJ,

У\ = Лі sin T“,

(2), (3)

15

где Yi° — значение угла ух, при котором произошел разрыв кине­ матической цепи в паре 1—2. Дифференцируя равенства (2) и (3) по времени, получим два других начальных условия:

*і° = — ДіТ?sin TS.

Уі = Аіт! cos -г®,

(4), (5)

где fi° —значение угловой скорости дополнительного движения пальца шатуна по поверхности подшипника кривошипа в момент отрыва.

При переходе от свободного движения в поле зазора к контакт­ ному начальное значение угловой координаты у-, определяется по формуле

хт

 

 

 

arccos -А-

при у№ >

О

 

 

 

 

 

 

 

 

т і « =

 

 

1

, (ft)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

2я — arccos-А-

при

 

О,

 

 

 

 

 

 

 

где

х\ ,

 

у\

— координаты

точки

обоймы

подшипника, в

кото­

рой произошло восстановление контакта в паре 1—2.

 

 

Начальное

значение

угловой

скорости

у ^

вычисляется

ис­

ходя

из

принятой модели

удара.

В общем

случае

ti° = f

(4É)>

y[k),

x[k\

y[k)). Воспользуемся формулами (2)

и

(3)

перехода от

полярных

координат

(рд, уг)

к декартовым

(лу, гу)

для движения

внутри зазора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* 1 — Pi cos Ті,

Уі = Pi sin Yi-

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя их по времени, получим

 

 

 

 

 

 

М =

рх cos Ті — PiTi sin Ті,

 

Уі =

Pi sin Yx +

pxTi cos ту.

 

Решая

эту

систему

алгебраических

уравнений

относительно

f 1 и

рх и учитывая, что sin ух =

гу/Рі. cos ух =

ху/Рі>

получим

Ті =

(УЛ — ХіУі)ІрІ,

 

 

PI =

(ВД. +

УіУіУрі,

 

 

 

 

где рх — скорость движения пальца шатуна по нормали к окруж­ ности.

В настоящей работе принята модель неупругого удара, т. е. коэффициент восстановления нормальной составляющей скорости соударения принимается равным нулю, следовательно,

ТІ4) = ( 4 М Й,- Э Д / А?-

(7)

'S.

уравнении

■'Аналощчно вычисляются начальные условия для

свободной) движения и движения с контактом в зазоре А3. Момент перехода от свободного движения -в поле соответствующего зазора

к

контактному определяется нарушением неравенств х\ + у\ <

<

А? или ХІ-+УІ < Ад.

}6

Вывод уравнений движения кривошипно-ползунного механизма с зазорами

Поскольку в рассматриваемой модели механизма с зазорами движение ведущего звена считается заданным, то для получения уравнений добавочного движения механизма достаточно записать уравнения относительно координат xlt уІУх 3, у 3или ух, УзВосполь­ зуемся уравнениями Лагранжа второго рода:

где Т — кинетическая энергия ползуна и шатуна, выраженная че­

рез обобщенные координаты q£\ Q,- — обобщенные силы,

соответ­

ствующие выбранным обобщенным координатам.

 

 

в

В качестве обобщенных координат при сохранении

контакта

кинематических парах выберем соответственно углы

ух и

у3,

а

при разрыве кинематической цепи — декартовы координаты

хъ

Уи

и Уз-

 

 

Определение кинетической энергии шатуна и ползуна. Кине­ тическая энергия шатуна в неподвижной системе координат XOY выражается формулой

Тш = тгѵ\і2 -f / sß72,

(9)

где m2 — масса шатуна; vs — скорость поступательного движения его центра масс в неподвижной системе координат XOY\ Is — мо­ мент инерции шатуна относительно его центра масс; ß —угловая

скорость

вращения шатуна.

 

в

виде

Квадрат скорости

представим

ѵі = Xi + Y l

 

 

 

 

 

 

где X s и Ys — проекции скорости

vs на оси неподвижной системы

координат XOY. Для того

чтобы их определить, запишем коорди­

наты центра масс шатуна

в системе XOY следующим образом:

X s =

г cos а +

хг + Y cos ß,

 

(10)

Ys =

-isin ß +

г/g.

 

 

 

(11)

Дифференцируя равенства (10) и (11) по времени, получим

X s= — reosin а -1- хх — у

ß sin ß,

(12)

Ys = ~ ßcosß +

y3.

 

 

 

(13)

Определим теперь

ß. Для

этого

выразим длину отрезка, А К

(ем. рис. 1) через геометрические параметрьГмехан^змшнякоориина-

I иаучно-трхн.-1'."-»**»аг! Г

б библио '..-к« ',У. С Р I J-

L

ЭКЗЕМПЛЯР

I

ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

ты точек А и В в подвижных системах координат. Тогда

 

 

AK = г sin а -|- уа = / sin ß -|- у3.

 

(14)

Дифференцируя последнее равенство по времени, можно записать

reocos а + уг =

/ß cos ß + y3.

 

(15)

Откуда

 

 

 

 

 

ß = (reocos а +

ух — уз)//cos ß.

 

(16)

Для упрощения дальнейших выкладок введем обозначения

 

 

U =

— reosin а + хъ

V = reo cos а + уг — у3.

(17),

(18)

Соответственно в полярных координатах

 

 

U = — reo sin а — AxXxSin

 

(19)

V =

reocos а -f

ДіУх cos ух — Д3у3cos у3.

 

(20)

Тогда вместо (16)

имеем

 

 

 

ß =

17//cosß

 

 

 

(21)

и

 

 

 

 

 

Xs =

f/ -■ £ tgß,

Y , = ^ + y3.

 

 

Возводя в квадрат обе части этих равенств и складывая полу­

ченные выражения, будем иметь

 

 

о* =

XI + У| =

Д 2 -

UV tg ß + V4t (tg2ß + 1) + y3 (V -f y3)-

 

Поскольку в рассматриваемой модели механизма шатун пред­ полагается прямолинейным тонким стержнем, его момент инерции

относительно

центра

масс, расположенного в геометрическом цен­

тре шатуна,

равен

/ 5 = т 2/2/ 12.

 

 

Подставляя найденные значения ß,u2 и Is в формулу для кине­

тической энергии шатуна (9), получим

 

 

т — ИІІ

 

V2

ys (V + у,) +

V2 -

1ш —

2

и * + U V tg ß + т (tg2ß + 1) +

1 2 cos2 ß. *

Ползун совершает только возвратно-поступательное движение, следовательно, его кинетическая энергия может быть записана в виде Тп = т3и3/2, где т3 — масса ползуна, ѵ3 — скорость его цен­ тра масс в неподвижной системе координат XOY.

Продифференцируем по времени следующее выражение, при помощи которого определяется координата центра масс ползуна

внеподвижной системе XOY:

Х3 — г cos а -|- д'х -|- I cos ß — х3.

18

Врезультате получим

Х3 =: ѵ3 — — л о sin а -|- х1 — д'з — 1$sin ß.

 

С

учетом

обозначений

(17),

(18) и

(21) можно

записать

ѵ3 ==

=

U — V tg ß — л'3. Тогда

выражение

для

кинетической энергии

ползуна принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

Т п = f

( t / - y t g ß - x 3)2.

 

 

 

 

 

 

Общая кинетическая энергия звеньев в 2 и 3 определяется сле­

дующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

т = Тш+ Тп = f Гт/ 2 — UV tg ß + ^ ( t g 2ß + !) +

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

V i g V - x 3)\

(22)

 

 

 

+

У&(У + Уз)

 

12 cos2 ß . + % ( u

 

Для записи кинетической энергии в полярной системе коорди­

нат

следует

воспользоваться

преобразованиями,

аналогичными

(4)

и

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*з = — ДзТзsin Тз.

Уз =

ДзТз cos т3.

 

 

 

 

Тогда формулу (22) можно переписать в виде

 

 

 

Т = f

[£/» - UV tg ß +

£

(tg2 ß +

1) +

ДзТз cos тз (V +

 

 

 

+

ДзГз С05Гз) + 1 2

^

р + у

(u — V tg ß + Д 3Тз sin Тз)2-

Определение величины реакции в кинематических парах с зазо­ рами. Контакт внутренней поверхности подшипника с поверхностью шипа осуществляется по их общей образующей. Силу реакции в кинематической паре с зазором можно представить как сумму двух составляющих: нормальной реакции, совпадающей по направ­ лению с общей нормалью к соприкасающимся окружностям, и силы трения, направленной по касательной к указанным окружностям (см. рис. 1). За положительное направление нормальной составля­ ющей реакции примем направление к центру подшипника. Для нахождения нормальной составляющей реакции в паре 1—2 сог­ ласно принципу Даламбера приравняем нулю сумму моментов сил, действующих на шатун относительно точки В (см. рис. 1) с учетом сил инерции шатуна. За положительное направление момента сил примем направление возрастания угла ß. Тогда в соответствии с рис. 1 будем иметь

= — Rxl sin %+

F'^1 sin Ti +

Mn +

РИХу sin ß +

 

 

 

+ Рад у

cos ß — P2y co sß =

0,

(23)

где M „ — момент сил

инерции шатуна

относительно

точки

В\

Р„X и Рщ — проекции сил инерции шатуна на оси X и Y, прило-

19

Смотрите также файлы