Файл: Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами.pdf

&eüHi>te к его Центру масс; Р 2 — сила веса Шатуна. Согласно прин­ ципу Даламбера

= Р’ Рн.ѵ' — m2x s, Рни — пцУsi

Воспользовавшись формулой (1) для силы трения и решая (23) относительно Rlt можно записать выражение для нормальной сос­

геометрических соотношений для рассматриваемого механизма.

Для нахождения ß продифференцируем равенство (15) по вре­ мени:

Таким образом, оказывается, что нормальная составляющая реакции Rx в паре кривошип — шатун зависит от геометрических параметров механизма и от первых и вторых производных по вре­ мени от добавочных координат в кинематических парах 1—2 и 2—3. Последние следует определить из решения дифференциальных уравнений движения механизма.

Аналогичным образом, приравнивая нулю сумму моментов сил,

20

вычисление обобщенных сил. Определим теперь обобщенные силы Qi, соответствующие выбранным обобщенным координатам Лагранжа. На рассматриваемый механизм действуют силы веса шатуна Р2 и ползуна Р а, приложенные к их центрам масс, и сила F, действующая на ползун вдоль оси X. Кроме того, в кинематических

парах 1—2 и 2—3 возникают силы трения Frp и Frp, которые будем считать направленными по касательной к поверхности подшипни­ ков. Их направление задается знаком угловых скоростей Ух и Тз> а именно их знаки всегда противоположны знакам соответствую­ щих скоростей движения точки контакта. Обобщенные силы по-раз­ ному выражаются в зависимости от того, какое из рассмотренных выше четырех возможных движений реализуется в данный момент.

Рассмотрим I вид движения, т. е. движение механизма с сохра­ нением контакта во всех кинематических парах. В этом случае добавочное движение определяется координатами ух и у3. Элемен­ тарную работу активных сил на виртуальном перемещении 6ух можно записать как

В это выражение не входит сила F'Pp, поскольку приращение получает только координата уг, а у3 остается фиксированной. Перемещение бYs, вызванное виртуальным перемещением бу1, определим, записав координату центра масс шатуна Y s в виде

Приращение öß определим, переписав выражение (14) в виде

Замечая, что от перемещения бух зависит только ß, будем иметь Ai cos ухбух = I cos ßöß, откуда

Подставляя (34) в (30) и (32), получим

бYs = yCosTiÖTx,

ÖX B = — Ах(cos Ti tg ß + sin Ti) буі-

21

Подставив эти выражения в (28) и разделив обе части НолучеН-1 Boro равенства на буі, найдем

Для определения обобщенной силы СД, зададимся виртуальным перемещением бу3 при фиксированной координате YiЭлементар­ ная работа активных сил на этом виртуальном перемещении будет равна

То же самое выражение для QY, следует взять и для случая II вида движения механизма, т. е. с сохранением контакта в кинема­ тической паре 2—3 и с разрывом в кинематической паре / —2. Оп­

ределим для этого случая обобщенные силы Q*, и (Д . Элементар­

22

Аналогично определяется обобщенная сила Q" :

Для третьего вида движения, с сохранением контакта в кине­ матической паре 1—2 и разрывом в кинематической паре 2—3, следует воспользоваться формулой (35). Тогда

Обобщенные силы Qi" и Q^'1находятся так же, как и обобщенные

Для четвертого вида движения, с разрывом в обеих кинемати­

Обобщенные силы Qi^ и Q™ также определяются по формулам (47) и (48).

Таким образом, получены выражения для обобщенных сил в каждом из четырех возможных видов движения механизма. Подстав­ ляя их в уравнения Лагранжа (8), получим окончательный вид дифференциальных уравнений добавочного движения меха­ низма.

Вывод уравнений движения. Для удобства дальнейших выкладок

где U и V определяются соответственно равенствами (17), (18) или (19), (20).

Определим сначала уравнения движения для случая IV вида движения, т. е. при разрыве кинематической цепи в парах 1—2 и 2—3. Для нахождения частных производных от Т по хг и хх

Для того чтобы определить частные производные от tg ß по хх и хх, найдем зависимость tg ß от обобщенных координат. Наличие зазоров Аа и А3 приводит к тому, что для любого заданного угла поворота кривошипа а угол ß (см. рис. 1) будет отличаться от соот­

23