ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ П РОЦЕССОВ 1 13
первоначально определен на всех функциях
|
|
« W = |
g'l'x{X) |
|
|
|
(х (Х )= |
2 |
еш *хк, |
— оо < |
Я, < |
ooV |
|
V |
‘ < h < T |
|
|
|
I |
|
причем сами |
пространства |
Я (g) и |
Я (/) |
совпадают |
||
с замыканием |
в L2(R) подпространств из соответст |
|||||
вующих функций g'fcx(h) |
и |
f'[-x(X) (см. (2.1) — (2.3)). |
||||
Будем предполагать в дальнейшем, что спект |
||||||
ральная плотность |
g(X) |
равномерно интегрируема: |
||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
J |
1 № )||< Д < оо. |
|
(2.18) |
||
|
— со |
|
|
|
|
|
Положим |
В — А*А и |
F = I — В. Ясно, что усло |
||||
вие ограниченности и обратимости оператора А равно сильно тому, что теми же свойствами обладает опе
ратор В. Далее, если |
F = |
1 — В есть оператор Гиль |
|
берта— Шмидта, то В = |
1 — F будет ограниченным |
||
оператором, причем условие обратимости |
п о л о ж и |
||
т е л ь н о г о оператора |
В = |
А'А: |
|
inf (Ви, и) = |
1 — sup (Fu, и) > |
О |
|
II н 11=1 |
|
II«11=1 |
|
равносильно тому, что самосопряоюенный оператор F (типа Гильберта — Шмидта) не имеет собственных значений, равных 1— его максимальное собственное значение меньше 1,
ц = sup (Fu, и) < 1. |
(2.19) |
IIн 11=1 |
|
Уместно отметить, что ограниченность и обратимость исходного оператора А означает следующее *):
00 |
|
оо |
|
|
J |
(А,), *(*,)} fiW, X |
J {*(* .)* (Л), x(l)}dl, |
(2.20) |
|
*) |
Здесь и далее |
запись а X Р для переменных а, |
(3 озна |
|
чает, что |
|
|
|
|
|
О С с х |
< с 2 < о о , |
|
|
где си |
02 — некоторые |
постоянные. |
|
|
114 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
где |
х (А) |
пробегает все функции вида х (А) = |
= |
2 j е |
kxk. |
tk < t < T
Как мы показали выше (см. теорему п. 1), опе ратор Гильберта — Шмидта в подпространстве Н (g) s s L2{R) задается некоторым ядром qp(А, y)(=L2(RXR), что в отношении оператора F = I — В равносильно следующему: для полной в Н (g) системы функций
и (А) = eiUg]l2х, t0< t < T , |
х е R, |
и некоторого ядра, ф (А, ц) e L 2(i?X R) должно иметь место равенство
(Fu, v) =
=J e~i{Ks~ill)J { ^ /2ф (А, ц) g'J2x, г/] dXd\i
(см. формулу (2.17)). С другой стороны, для « ( А) =
— eihsg]Fx, v (А) = еш g\[2y имеем
{Fu, v) = (u, v) — (Ви, v) =
со со
= |
j еа(8~{> [gKx, y}dX — |
j |
{fKx, y) dX = |
|||
|
—oo |
|
—OO |
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
= | ea <*-'> {(^ |
— fh) X, y) dX = b(s — t), |
|||
|
|
— oo |
|
|
|
|
где |
b(s — t) |
есть разность корреляционных функций: |
||||
|
b(s — i) = |
Bri{s — t) — Bi (s — t), t0< |
s, t < T . |
|||
Сравнивая приведенные выше выражения, при |
||||||
ходим к следующему результату. |
|
|||||
Л е м м а . |
Разность |
I — В |
является |
оператором |
||
Гильберта — Шмидта |
тогда |
и |
только |
тогда., когда, |
||
§2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 115
разность корреляционных функций допускает пред ставление
оо |
оо |
|
|
|
|
& ( * _ / ) = ] ■ |
|
| |
|
rigW dXdp, |
(2.21) |
|
|
|
tQ< t , s < Т , |
|
|
с помощью |
некоторого ядра qp (Я,, ц) е L2 (R X |
R)- |
|||
Здесь подынтегральная функция |
|
||||
|
|
Ф (^ |
ц) = g[/2(p {I, |
p)g]l2 |
|
принадлежит |
пространству L2 (R X R)y поскольку |
||||
оо |
|
|
|
|
|
J II g]!2f d l |
< |
оо (см. условие (2.18)), и формула (2.21) |
|||
—00 |
|
|
|
|
|
показывает, |
|
что |
операторная |
функция |
b(s — /), |
t0< s, t < T, |
может быть продолжена в некоторую |
||||
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
оо |
|
|
b (s, |
t) = f |
С e-M?.s-pnTj,(A„ p)dkd[i, |
|||
—о о — CO
—оо < S, t < OO,
преобразование Фурье которой
я1>(Я, |
= |
[ j' е‘ ^ - М b(s, t)dsdt, |
— OO — CO
—oo < X , p < OO,
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
g ^ ( K n ) ^ e ^ ( i ? X K ) . |
( 2. 22) |
||
Очевидно |
также, что если |
функция b(s — t), t0 < |
||
< s, t < T, допускает подобное продолжение, |
то она |
|||
допускает |
и |
представление |
типа (2.21) с |
ядром |
Ф (^> н-) = |
^гг|/2^ (я> |
|
|
|
116 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы [гл. IV
Таким образом, имеет место следующее пред ложение *)
Т е о р е м а . |
Разность |
I — В является оператором |
|||||||||
Гильберта — Шмидта |
тогда и только тогда, когда |
||||||||||
разность |
корреляционных |
функций |
b(s — /), |
t0 < s, |
|||||||
t < |
T, допускает |
продолжение в некоторую функцию |
|||||||||
b(s, |
t), |
— °о < |
s, |
t < |
оо, |
из L2(R X R) с преобразо |
|||||
ванием |
|
Фурье |
ф(А,, |
р,), удовлетворяющим |
условию |
||||||
(2. 22). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как |
это |
ни кажется странным с первого взгляда, |
|||||||||
в случае ко не ч но г о |
и н т е р в а л а |
(t0, Т) при весьма |
|||||||||
широких |
ограничениях на спектральные |
плотности |
|||||||||
f\ и ё\ из условия, |
что |
разность |
I — В |
является |
|||||||
оператором |
Гильберта — Шмидта |
(и даже |
просто |
||||||||
самосопряженным вполне непрерывным оператором), вытекает о б р а т и м о с т ь оператора В, и в этом случае предложенная выше теорема дает, как мы убедимся в дальнейшем, весьма эффективный к р и т е р и й э к в и в а л е н т н о с т и .
Предположим, что спектральная плотность f\
является н е в ы р о ж д е н н о й хотя бы на каком-либо множестве положительной меры. Предположим, что спектральная плотность gА является р е г у л я р н о й ,
точнее,
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
|
|
— ОО |
|
|
|
|
(ср. с условием (4.12) гл. III). Тогда имеет |
место |
|||||
следующее предложение. |
|
|
I — В |
|||
Т е о р е м а . |
При |
условии, |
что разность |
|||
является |
вполне непрерывным |
оператором, |
оператор |
|||
В = А'А будет обратимым. |
|
|
|
|||
*) Эта |
и последующие теоремы |
являются обобщением ре |
||||
зультатов |
для одномерных процессов, подробное доказательство |
|||||
которых имеется |
в книге. И. А. И б р а г и м о в а н |
10. |
А. Р о |
|||
з а н о в а , |
Гауссовские |
случайные |
процессы, М., |
изд-во «На- |
||
ука», 1970. |
|
|
|
|
|
|
§ 2) ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 117
Доказательство этого предложения основано на том, что при условии (2.23) всякий элемент и(Х)^Н (g)
представим в виде
и (Я) = g'fx (Я), — оо < Я < оо, (2.24)
где х{Х) — целая аналитическая функция, являю щаяся среднеквадратичным пределом с весом w(X)=-
= || g - '|r ' аналитических |
функций типа (2.1) : |
|
||
х (Я) — lim |
2 |
е‘л^лп. |
|
|
‘o<h <T |
|
|
||
Действительно, всякий элемент и (Я) е |
Н {g} |
по> |
||
определению пространства |
Н (g) есть предел |
в L2{R} |
||
некоторой последовательности |
ип(Х) = g[l2xn(X), |
где |
||
хп (Я) — аналитические функции типа (2.1). |
Последо |
|||
вательность ип(Я) является фундаментальной в про
странстве L2 {R), |
так |
что |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
> | \\хп(Я) — Хт |
(Я) ||2 W(Я) с1Х -> 0 при |
П , |
т —> ©о, |
|||
— оо |
|
|
|
|
|
|
поскольку для |
любого . t e l ? |
|
|
|
||
|
|
II |
в~ 1/2 |
II2 |
|
|
|
|
|Ц|£а I |
I |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и следовательно, существует функция х (X), |
J |
ll'-t(X) |f X |
||||
X w (Я) dX < оо, |
такая, что |
|
—оо |
|||
|
|
|
||||
|
оо |
|
|
|
|
|
lim |
Г || хя (X) — х {X) f |
w (Я) dX = |
0. |
|
||
П - > оо |
J |
|
|
|
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
Таким образом, для некоторой подпоследовательности имеем
X (Я) -> -V(Я), gH2xn{X)-> g}i2x{X) п. в.,
