Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
-61 -
|
Теорема $ 43 , |
(об эквивалентной |
регуляризации). |
|
|
|||||||||||
|
Если В - |
оператор |
Нетера, |
то его всегда можно |
эквивалентно |
|||||||||||
регуляривоваты олева, |
|
вали К(В) ^ 0^и оправа^ |
еоли1{(В)'40 > |
|||||||||||||
|
Доказательство* |
Дри К(&)^0 |
применим к Ё> слева |
какой- |
||||||||||||
либо регуляризатор |
Ц. |
|
,так 4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
Г) |
- вполне |
непрерывный |
оператор. З а м е т и м т е |
1 И я ц ^ 0 » |
|||||||||||
Воспользовавшись |
формулой |
( i l . l ) . предоТавйм 14. |
в |
виде |
|
|||||||||||
где |
14- |
имеет |
& - характеристику |
|
|
|
- |
впол |
||||||||
не |
непрерывный |
оператор, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Иэ (L3ii) |
Я (18,2) |
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
, |
I I е В |
|
* I + T i ~ T f t . |
|
|
|
|
|
||||||
Оператор |
'Т' В |
~ вполне |
непрерывный и поэтому |
Ц " - |
левый |
|||||||||||
регуляризатор |
оператора |
J3 • А |
«ак уравнение |
U OS* = О |
||||||||||||
не |
Имени решений} |
отличных он H y j i e s b f O j то регуляризация |
э к в и о и - |
|||||||||||||
лентнпн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Edл и |
|
|
I то Применим К оператору |
D |
|
оправа |
|
||||||||
какой-либо его регулярна мо р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В данном |
случает |
L H t i |
|
|
» Опять |
будем исходить |
из представ- |
|||||||||
г д е |
|
имеет |
|
А - характеристику |
( - X I B J O ) |
, г |
Г • нпоине |
|||||||||
понрершшчи о п е р а т и р , |
|
?ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
\ ) |
|
|
|
|
Имг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 62 -
|
|
B V e |
= r + T « . - B > T \ |
|
|
|||
Так как ВТ^ |
- |
вполне |
непрерывный оператор, то |
"\У |
л< Л |
|||
регулярнаатор |
оператора |
В . Уравнение |
\Г |
Ъ — ОС |
разрешимо |
|||
при любом ЗС |
, |
так как |
U ° |
имеет |
ot- |
характеристику |
||
Х.(В)? сО |
. |
Следовательно, |
по определению, |
V |
- эквива |
лентный регулярнаатор.
Отметим оледующее важное обстоятельство. В случае положитель' ного индекса после левой равносильной регуляризации получается
уравнение с оператором, ядро |
которого совпадает о ядром |
исходно |
||||||||
го оператора (соответствующие однородные уравнения |
имеют |
одни и |
||||||||
те же решения). В случав же отрицательного |
индекса |
(при |
правой |
|||||||
эквивалентной, регуляризации) |
это не так. А именно, |
|
|
|
||||||
СХ(В). где 1 Г |
- |
любой правый равносильный |
регуляриватор. |
|||||||
Для. доказательства |
вспомним |
(ом.доказательство |
теоремы о |
компо |
||||||
зиции операторов Нетера), что число |
нулей |
оператора |
В1Г° |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ак как - ^ ( В ^ О и |
% 4 |
(t^L ) |
1 4 1 0 |
и |
требовалось |
доказать. |
||||
Следующее утверждение чаото используется на практике при |
||||||||||
установлении эквивалентности |
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|||
Цвима. Пусть |
|
- ограниченный |
оператор. Для |
того, |
чтобы |
|||||
уравнения |
|
|
|
были |
эквивалентны |
при |
любом |
|||
овободном члене 1J |
, |
необходимо и достаточно, |
чтобы |
оператор |
1| |
|||||
нв имел других нулей, |
кроме |
тривиального |
^ |
- О . |
|
|
|
-63 -
|
Доказательство. Начнем с достаточности, любое решение |
урав- |
|||||||||||||||
• нения |
DSC-'tj |
удовлетворяет |
и уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
наоборот, если X |
- |
решение |
|
уравнения tfBx^lf'U |
|
, т . е . |
|||||||||||
H ( B i - i j ) = 0 . ™ В х - о ^ О . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Необходимость |
докажем так. Пусчь |
= |
0 |
. Уравнения |
|
|||||||||||
|
|
|
X |
— Wllo |
|
по предположению эквивалентны, причем |
|||||||||||
второе уравнение сводится к однородному |
|
|
|
|
у которо |
||||||||||||
го обязательно будет |
нулевое |
решение X— |
О |
. Это решение |
|
||||||||||||
должно удовлетворять |
и исходному |
уравнению |
В |
^ С — |
« |
|
откуда |
||||||||||
IJ |
Q^ |
O |
; следовательно, любой |
|
нуль оператора |
IX |
является |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
тривиальным, что и требовалось |
установить. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Из доказанного |
утверждения |
|
следует, |
что в случае |
|
отрицатель |
||||||||||
ного индекса Х"(В) |
нельзя |
эквивалентным |
образом |
слева |
регу- |
||||||||||||
ляризовать нетеров |
оператор В |
• В самом |
деле, |
индекс |
|
регулярв- |
|||||||||||
эатора |
|
-~Х(В) |
должен быть положительным и у него в соответст |
||||||||||||||
вии с |
замечанием, сделанным |
в конце § 11, будет |
минимум. |
-Х(В) |
|||||||||||||
нулей, |
что, согласно |
леиме, |
исключает равносильность |
данного и |
|||||||||||||
регулнризованного |
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Необходимые и достаточные условия левой эквивалентной |
регу |
|||||||||||||||
ляризации содержит следующая теорема С.Г.Мяхлина. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
'Георека 2.13. Для того, |
|
чтобы оператор |
|
|
|
|
|
|
|
допускал левую эквивалентную регуляризацию, необходимо и доста точно, чтобы он был оператором Нетера о неотрицательным индексом,.
Доказательство. Достаточность условий теоремы вытекает иэ теоремы I . I 3 об эквивалентной регуляризации.
Для доказательства необходимости заметим, что по теореме
-64 -
2.8оператор |3 нормально разрешим. Далее,оЩЗ^С^СМВК00.
тан как по условию уравнений |
|
|
= О |
экви |
||
валентны. Остается доказать, что |
0(B) |
конечно |
и Ж(Ь) |
= |
||
|
Уравнений |
|
эквивалентны |
при |
||
любом |
» Следовательно, условием необходимым |
и достаточным |
||||
для |
разрешимости уравнений |
|
буду! равенства, обеспе |
|||
чивающие |
разрешимость уравнения |
Фрвдгольма |
|
|
||
где |
и у |
- решения уравнений |
|
|
|
|
Условий |
(13.8) перепишем s виде |
|
|
|
|
Таким обравом^ функционалы |
U*9fc j к Х ^ * Ц |
•• ••jc <CMt5.) |
||
удовлетворйЮт |
уравнений |
и условий |
(13.4) |
являются |
необходимыми |
й достаточными дли |
разрешимости уравнения |
В х = ^ |
|
Отсюда следует, что 9SK функционалы исчерпывают |
ядро оператора |
В1 хотяt быть может< ореди них есть й линеЛно-аависймые , т . е .
cX(b*)4t<№)<LW. |
так как |
', т о |
Ы(В*)<с« и К (В) а * ( f t ) - £ С&) - <XflJ Bf) - <*Г6*^0.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентной регуляризации оператора справа.
Теорема 3.13. Для того, чтобы оператор Нетера В имел эквиврлентный Правей регуляризатор, необходимо и достаточно,чтобы индекс оператора В был неположительным.
-65 -
доказательство, Достаточность условий творены вытекает из
теоремы |
1.13 |
об |
эквивалентной регуляризации. |
Необходимость: |
|
|||||||||||||
пусть |
\У |
|
- |
эквивалентный |
правый регуляриаатор. |
Предположим, |
||||||||||||
вопреки |
точу, |
что |
требуется |
доказать, |
что |
К С&) = 1^^^? О . |
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а это |
противоречит |
тому,что |
уравнение |
U С |
- |
ОС |
разрешимо |
|||||||||||
1 ил любого |
X |
(= £Г-| , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема |
4,13. |
Пусть |
В |
<с {F^~^ |
Н"Я| |
|
|
~ |
оператор |
|
||||||||
Метера, |
ЪС (В) |
О |
• Длп того,чтобы |
его |
правый |
регуляри |
||||||||||||
эатор IT" бил |
эквивалентным |
рагулнризатором» |
необходимо |
и доста |
||||||||||||||
точно, |
чтобы |
его |
|
flL- |
характеристика |
имела |
вид (~V(B>) ? 0 ) . |
|||||||||||
Доказательство. Необходимость: пусть |
\Т |
|
- |
правый |
экви |
|||||||||||||
валентный |
регуляриэатор. Тогда |
|
|
|
|
|
|
и |
урапиение |
|||||||||
V b ^ T C o |
|
должно бить разрешимым при любой |
Х о € |
H-j |
, |
|||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Достаточность! |
так |
как |
с{ - характеристика |
оператора |
|
имеет |
||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
, то уравнение |
|
|
|
|
|
разрешимо |
при |
|||
любом |
ОС |
|
, т . о . |
хг |
- |
эквивалентный |
регуляриаатор. |
|
||||||||||
Теорема |
2.13 |
диет полную характеристику |
множества |
операторов, |
||||||||||||||
допускающих |
левую |
эквивалентную регуляризацию; |
В случае |
гильбер |
||||||||||||||
това пространства можно дать такую же характеристику |
множества |
|||||||||||||||||
операторов, |
допускающих |
левую регуляризацию |
вообще |
(не |
обязатель |
но эквивалентную): И.Ц.Гохберг доказал, что для |
того,чтобы опера |
|
тор |
допускал левую регуляризацию, |
необходимо и дос |
таточно, |
чтобы он бил нормально разрешим и имел |
конечное число |