Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

-

58 -

является оператором

Нетера и

^ ( A + J ^ C ) — ^ ( А ^ ) .

Доказательство.

При выполнении условий

([20],

стр. 218-215).

Следовательно,^ по теореме Никольского

он

представим в виде

I +

^ [A

j

С ~^<+T{JM, где

-

обратимый,

a j | J 4 -

вполне

непрерывный

операторы, действ

вующие в проотранотве£.

Легко

убедиться

непосредственной

проверкой, что оператор

Д + ^ С

можно представить в

виде

(ом. § 10,

формула

10.5)

A + ^ C ~ A U [ ,

(" . 5)

-

обратимый

оператор,

a J v » о п р е ­

деляется

равенством

U - T A T { r ^ T A l A - ] " C + A " K ^ .

<«.«

Так

как3{j4 и Т д

вполне

непрерывны, т о * } ^ -

вполне

непрерав­

ный оператор,

следовательно,

по теореме 5.10

из представления

(11.5)

вытекает, что

оператор

Нетера и

^

(Д

jr \^С-*)в$(.(А)«Теорема

t.ll

доказана Е.А.Ивановым.

§ 12.

Односторонняя обратимость характеристических

операторов

Теорема 1.12.

Для того,чтобы оператор

Нетера (3

имел

d,-

характериотик/

вида

О )

,

необходимо

и достаточно,

чтобы

он был обратим

справа.

Доказательство. П^оть у

оператора

Нетера В

есть правый

обратный

оператор

Рассмотрим уравнение

& Х = ^

, . ^ £ г Ё ^

. Решением

этого

уравнения

при любом Ц £ £ «

будет X = В~^

•

следова­

тельно,

^>(В) =0

и

ct~

характеристика

этого

оператора-

будет иметь вид ( К

, 0 )

,

где Х ^ О

и конечно» так как

В

по условию оператор

Нетера,

Таким обравом, мы доказали

достаточ­

ность

уоловий теоремы. Пусть

теперь

В

-

оператор

Нетера

о ,

Ctхарактеристикой вида ( К , О ) ,

ЪСУ/О . 8то означает, что

уравнение

BXs'tJ

разрешимо для воех

"t| £• E"j, * Это решение

можно .записать

в виде

QC =

^

"Ы

Г

(ом. § 3) . Таким образом, для произн)льного ^ £

Ь&

имеет

меото соотношение

(3

^5 ^ ~

1J , т . е . оператор

В» ^

является правым обратным дли В

• В

т и м

Доказана

необходимость

условий

теоремы.

Аналогичное утверждение имеет меото я для операторов о

cLхарактеристикой

вида

(Oy-}t)»

Теорема 2.12. Для того,чтобы

оператор

Нетера

В

вмел

c t -

характериотику

вида ( O j - K ) ,

необходимо

и достаточно,

чтобы

он был обратим

олева.

i

f

Докааатвльотво. Пуоть

BJ-J

е .

В ~ 1

- л

е в ы

й

обратный

оператор

для оператора В

,

. Т^ак как каждый

т . €: тЕ^^Еа.)

ВЗ, В = 1 ,

нуль

оператора

Р

является нулем

оператора

то

уравнение

ВХ^О

имеет

не больше

решений,

чем уравнена

1 х

= 0

. Таким образом,

vi

(В)

-

О'

- .Число ^ ( & )

конечно

в силу

того, что

~ оператор

Нетера. Достаточность

условий

теоремы

доказана. В

Если

р

- оператор

Нетера

о

с|_- х а р а к т е р и с т и к о й ^ - ^ ) ,

то оператор

[3

отображает [li

взаимно однозначно

на

Fq

+ * * ~

и имеет

на

t

ограниченный

обратный

D

. Отсюда

выте^ -

ет,

что

для всех

. Таким

образом,

2>

будет

левым

обратным

Дли В

• Теорема доказана

полностью.

Свойства односторонне обратимых операторов подробно описаны

(см . [б],

стр.

22-28

й

(Щ)„

§ 13. Эквивалентная регуляризации операторов

Введем

следующие

определений. Левый

регуляризатор

Uj\

на­

зывается

Левым

эквивалентным,еоли

уравнений

R f l B s C

~ R j l ^

эквивалентны,

т . е . кавдое

решение

одного

яв­

ляется в

to

же нремя решение^ другого.

Правый

регуляризатор

RH

Называется

правый

эквивалентным,

если

уравнений

одновременно разреши­

мы или неразрешимы, причем В Нервом олучае

любое решение

уравне­

ния

B& =/tj

• V^^Efc, представимо в виде

X-Rn.'t . Это

означает,

ч№

уравнение

ЦцЬ 3

3 р а з р е ш и м о

для всех !Х*0 £ Ё,,_

так

как

любой

такой

элемент

ЭСа

я'вляетей

решением

уравнения

Таким

образом,

в

случае

правой эквивалентной

регуляризации

ний,

так Kaif

кавдое

решение регулпризованного уравнения

BRn"t= / ^

порождает

решение

X=Rft"b исходного

уравнения

[ Х Х - / Ь | , и

наоборот,

если

-

решение

уравнения

E b X - ' j ,

то "Ь

» найденное

из

уравнения

Rn't

— ОС

, будет

удовлетво­

рять

уравнению В

r\

h Ь — ^j

,