Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

Учитывай биортогональность элементов

•{ ^ к }

функционалам

заключаем,

что

C v n - ^ m ( ^ j )

•

Следовательно,

первое

ив уравнений (4.8) примет вид:

Будем решать

0

ю н

•

^

г

С ^

, тогда

это уравнение в пространстве

Распорядимся

постоянными

Ц_ц

так^чтобы

удовлетворить соотно­

шениям

Cm3 * ^ 0 * 0

р -

,

Таккак

ftf1

(lj -

Qlj )

£ . E T ^

• 3 , "а9

на таких

элементах

функ-

ЦйоналЫ

| ж

йсЧвааюТ|

то

G l h 1

= l )

t r i

( Ш

Итак,

«*..

j

Первое утверждений леммы ||щид|^ донаваИо.

Пустд теперь

£

1~й

i

*ьгдв

^ - к ( ' ^ ) - 0

в формуле

(4.9) Й ?

Ц ^ ^

* Д 6 | § ° е с | &

е*'И* РА В Е Н С 1 В с л в д У е т и

а

определений

пространств[ространотва

t^l i

» а

второе-из

первого и из

определения

проектора1 | [ д

:

с*

Отсюда вытекает

искомое

равенство X

— £->

** t5 Ц ,

что и

завершает доказательство

леммы

Шмидта.

Выводыt I ) Из первой

части

лемыЫ Шмидта

вытекает,

что

т . е . квааифредгольмов

оператор

рпредотавим

в виде суммы

обра­

тимого о п е р а т о р а ^

и конечномерного

(проектора

2 ~^кСЯ)5^к)»

2) Иа второй

части леммы шмидта

следует,

что оп.-.рШр

| £

яяляезу-

ей расширением оператора

р

о пространства

на вое

пространство

Е<|.

В) Оператор Ц>

устанавливает

веаикко

Однозначное О0от»э?отвив

между бааиеом

{ З С к }

н У л В Й оператора

В

'и элементами

- [ ^ w j »

биор**гоиаяьными

дефектным функ«»«шалам

{J^kA

* $ о й

м О

Й

Д е й й »

так как 1L

-

Q l

t *

%L - X t s = P .

Замечание. Роль

Слагаемого

j j "

^ f c ( * ^ ) ^ k

> Ходящего

» такова: если

'Ч

£

fc

•

12,§$*$**ви~

но свести свободный Член уравнения в

ОроЬтранЬтВо

Ь. ^

.

добавляя

к

^

Элемент иа Пространства £ ^ ,

т . е . некоторую

линейную

комбинацию

элементов

5ЕК

i

Коэффициенты

этой

линейной

комбинации,

являющиеся

функционалами,

действующими

на искомый

-

22

элемент

X

» подбираются так,чтобы полученное однородное урав­

нение имело лишь тривиальное решение. Подобные рассуждения часто

применяются при исследовании разрешимости различных функциональ­

ных уравнений.

Теорема

С.М,Никольского. Для того,чтобы оператор

\

~ ^

L t \

был

квавифредгольмовым оператором, необходимо

и

достаточно выполнение одного ив следующих условий:

а) В> — A " l ~ ^ »

Г Д 8

А

имеет ограниченный обратный А »

a

U

- вполне

непрерывный;

б) 13 ^ A i ^ l X ) ,

где

имеет ограниченный обратный А-i

у

-

конечномерный.

Имеем: уравнение

BX

— ^J

эквивалентно

уравнению

,

иными словами,

Но

п \) -~vi

вполне

непрерывный оператор

как

композиция

ограниченного Д

и

вполненепрерывного ЦТ

,

а

для

уравнений

о

вполне-непрерывным

оператором

fj{_ справедлива

теория

Фредголь-

иа.

Теорема { . 5 . Пуоть

В> - нормально разрешимый оператор.

Для того .чтобы

уравнение

BiXss'lJ

было

разрешимо,

необходимо

и достаточно,чтобы для

всех

функционалов

£

,

удовлетворяющих

однородному уравнению

£ )

^ зй 0

, сопряженному

о

уравнением

(1.1), выполнялось соотношение

Доказательство. Необходимойть условий теоремы доказывается

следующим обрааом. Еоли X

является решением

уравнения В ОС * 1J ,

то для любого

£ ^

имеем

^

( В х } 2 1 ^

(^j),

следовательно,

по определению

сопряженного

оператора

^}(x)=£(^j) ^

Отсюда следует,

что для

£

,

удовлетворяющих

уравнению

выполняется соотношение

^C^jJ^O

* 4 1 0

"

Утверждалось .Ф.

линвйно-невавиоимых непрерывных функционалов

Н (B)a |^D(^ f

такое,

что условия

^р<(/Ц\зьО

необходимы и достаточны для .

раарешимооти уравнения

— ^

» Отсюда

выводим, что

указан­

ные функционалы удовлетворяют сопряженному уравнению. В самом

деле,

уравнение

Bx.OEEJ3CC разрешимо При л ю б о м £

,

следовательно,

^ ^ ( В э С б ) = ^ в оилу нетеровости

оператора Ъ

^ К а к

видно из

приведенного доказательства, необходимость усло­

вий

теоремы

справедлива

для любого ограниченного

(не

обяза­

тельно нормально

разрешимого)

оператора

О

-

2*

-

U определения функционалов

. Отовда

Так как Х р

произвольно,

то

f i * 1 ^ = 0 , ч т о и

утверждалооь.

Так

как

по уоловир

£ ( ' ^ | ) - 0

для

любого

t)

, являющегося

решением

уравнения

^

х.

О

j

^о^в

частности,

езо будет

справедливо и для функционалов ^

£ V

(&)

"

£<*('J)-0» а

8*0 обеспечивав® разрешимость

уравнения

B^t^'^j

,что й

требо­

валось докааамь*

Ив оказанного,

в частности,

эытвкае«*Что

в Качества

дефак*-

достаточно^ выполнений условий вида ( I . E ) ,

а именно:

( 5 . 1 ;

для нораальНОЙ рйрйшиности

Выполнение

равенства (5.1) пвяпег-

ей нё iOiibitO Достаточным^ но

й необходимый

условием. Однако

проверять его

Й&йб&ОдЛность

нет Нужды,

так

как пно вы поп мнет­

ся для любого

ограниченного

оператора.