Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
|
26 |
|
|
ям (0.2.Z), (0.2.3). |
|
|
|
I I J c ^ o L - * |
H ( ^ - 5 o » ^ для всех |
i c ^ f e B |
( l . l . b ) |
n |
|
|
|
H i . C ^ U o r - " 0 |
ФИ ^ O , |
(1.1.6) |
|
TO |
Ъ |
|
|
с . 0 Л |
= 1 + 0(\\1\м\\ъ^ |
|
( 1 л . 7 ) |
и |
|
|
|
\ c 0 C M U l |
|
( 1 Л . 8 ) |
|
Донаоательство. Оптимальный Функцюнал (1.1.2) запи шем в следующем гиде
Теперь имеем |
' |
(1.1.9)
= l c e | |
U ^ ( * \ 4 с » ^ \ / ц $ о о * ъ = |
здесь применяем (1.1.5) > \ с . | • || L 1 K w l l ^
3)8ИИТ, |
| С „ I i 1 |
|
2? |
|
|
|
Далее |
|
|
|
|
приК^ - о . |
Но • Hjt^CxiH |
= c o n s t + о . |
Поэтому |
|
\ 4 - c . \ < |
С • H t ^ x i | l ^ - J " |
° |
при |
U o |
n° 1.1.2. Свойства формулы прямоугольников
Мы будем говорить, что заменяем норму пространства
Вна эюэивалентную, если для всех (пункций j-Cx^fTJ
определяется |
новая норма |\^ (•aco\jr_ |
со |
свойством: |
|
||||||||
найдутся две |
постоянные |
С 1 |
и С г |
такие, что |
|
|||||||
О < Сл |
5 С г |
< |
оо |
|
и для |
всех |
f cso е В , |
i c ^ O ^ O |
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 1 |
и |
С 2 |
называются постоянными |
эквивалентности. |
|
|||||||
Пространство, |
получившееся в результате |
перенормировки, |
||||||||||
обозначается |
"В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Леша 4. |
При выполнении условий (0 . 2 . 2),(0 . 2 . 3) |
||||||||||
для наждого |
к |
норму |
Ъ |
можно заменить на эквивалент- |
||||||||
ную так, |
что |
постоянные эквивалентности |
можно выбрать не |
|||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
/•>*' |
зависящие |
от |
h, |
и в |
новой норме, над |
пространством |
В. |
||||||
при |
каждом |
К. оптимальным будет функционал |
t k W |
, |
||||||||
|
Доказательство. |
Покажем, что |
В А - |
норму можно за |
||||||||
дать формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введём вспомогательную нормировку I
28
2.
Эта норма эквивалентна исходной:
Сравним нормы |
и |
& Г |
Д Л " OTOI-O |
определив |
о\1ератор |
|
Т ' . ' Ъ ^ В з . правилом |
Т |
= ff^O - Jo+ |
|
-j- Ск к1) |
||
5 то линейный ограниченный оператор, определенный на всем |
||||||
Е>2 ^ обратимый. Обратный оператор действует по правилу |
||||||
T ' ^ t ^ ^ i W t i . |
- U " ^ ^ ^ |
таювв |
ограничен и |
|||
определен на всём |
ь |
Заметим, что |
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
ИТ"1 !"1 - Н<ж-Л1К |
4 * < > o l U ^ T l l - U c ^ l - g |
|||||
Поскольку нормы пространств'Ьо =^^ "%л |
. |
эгаэи- |
||||
валентны, то соответстиунцие сопряженные пространства име- |
||||||
ют эквивалентные нормы, задаваемое формулой |
|
|
||||
Нам будут важны два факта. |
|
|
|
|||
а) Норма пространства |
1Ь* обладает |
свойством |
|
|||
и равенство достигается только при lt~o |
Действительно, |
2 3
Ь 1 i t ^ T O H M g i ' t ^ t o
£ ^ f - |
- |
" ' |
1 > - ° ' * р : * |
|
|
(по свойству Ц |
= |
H t ^ - ^ W f i - |
^ Ч ^ Д я - О - |
Если |
|
имеется равенство |
I t u i W ^ = ^ ^ |
" |
э T 0 c |
o r J I Q C H O |
|
проведенный выкладкам
Это означает, |
что супремум дроби |
j |
($ы-) = \<и*л,Ь(*>>\/\\6ы\% |
||||
достигается на множестве i-c^v^C*1 ) |
($.'= e>V |
Однако, |
|||||
если |
С, |
то для любого ^'(я.) о условиями 4-',=о ^Ус^оН^ 1 |
|||||
можно указать |
такую постоянную |
fp |
р что д р о б ь ! |
($-'(*.)+ |
|||
будет |
больше |
|< t(«."), i-Wvl-t- ^ |
с некоторой положительной |
||||
постояж ой |
не зависящей |
от |
4 о*} Действительно, доста |
||||
точно |
взять ^ e = i ^ < t w - P 0 , i ' c x i > s ^ M e o - t |
и заме |
|||||
тить, |
что для |
этого |
|
|
|
|
|
i . ,- ft t ( x i - £ . b * l ' l |
J |
E . , V u ) > | t ( j 4 = [ \ e e \ - t — - = r - 1 |
Последнее слагаемое (в фигурных скобках) при достаточно мялом "t мохыо'выбрать за С>о; ке зависящее от ^Ы)
Оценка 11.1.12) прэти воречит тому, что супремум дроби
|
30 |
|
|
|
|
I |
может достигаться на множестве |
£Cx")»^'f:>e} (i'» = ° ) |
|||
Таким |
образом, из (1.1.11) необходимо |
следует |
-£„ = |
о |
|
|
г |
— n , |
, \\ |
(1.1. IS) |
|
В самом деле,,
.Дегко подсчитать,. что Т |
даётся формулой (1.1.13). |
||||
Над прсетршством |
К, |
по лемие 1 оптимальный фуяжц*- |
|||
онал ошибки |
4|?рЗ имеет вид (1.1.2) |
с некоторым С. |
По |
||
свойству б) |
|. t ^ H g * - |
H ^ H f l - |
О |
fffx-K^H^* |
|
Применим оценку/ (1.1.10), |
в которой |
равенство достигается |
|||
только при |
* — с = о |
(см. |
свойство |
а ) ) . |
|
'1
Последний функционал, стоящий под знаком нормы Выявляет ся функционалом ошибж и поэтому Ъ*- норма его оценива-
ется через норму оптимального функционала осшбкх:
Так как в этой цепочке оценок равенство действительно дос
тигается, то необходимо |
-1-Со— 49 |
и |
-t^CV) = |
^С-х) |
^ |
|
|
Выясним сейчас, какие условия на норму фсстранства |
|||||
В> |
обеспечивают "хорошие" свойства функционала |
£^ |
— |
|||
оптимальность, асиоттотическув оптимальность. |
|
|
||||
|
Лемма 5*^ При выполнении условий |
( 0 |
. 2 . 2 ) , ( 0 . 2 . 3 ; , |
|
||
ж) |
Асимптотическая оптимальность ^ Л ^ и с |
над |
прост |
|||
ранствами была установлена |
Т.Х.Шариповьш f ° " |
|
|
|||
