Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 35

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-

10 -

 

 

 

положению, достигается

экстремум. При

d

= I получим

-

допустимую близкую кривую,так называемую і ч '^ѵю сравнения

(Рис.4).

 

 

 

 

 

Мы уже знаем,

что разность

уі*) -

y l * ^ — . Ѣ

" $(х)

называемая вариацией функ-

^ ^ ^ ^ "

ции ^ W H обозначается.

. Вариа-

£

ция является

функцией ~т .

Эту

—функцию можно дифференцировать, причем

т . е . производная вариации равна вариации производной точно такке

Итак рассмотрим семейство у.

J = y(x)*eL <Jjf

 

Если рассматривать значения функционала

 

 

только на кривых семейства

у*у(х,л).,

то функционал

превра­

щается в функцию Л

'•

.

 

 

 

Эта функция достигает

своего экстремума

при^ = 0 , т . к . при

 

 

 

 

я

 

 

ai = 0 получаем у-уМ,

 

и функционал,

по предполояению, до­

стигает экстремума по сравнению с любой близкой допустимой

кривой-и, в

частности, по отношению к близким кривым семейст­

ва у-у(х,<і)*

Необходимым условием экстремума функции

Ч'(^)

при «С = 0, как известно,

является обращение в нуль её

произ­

водной при d

- 0

 

 

 

 

 

Так гак

?'

 

 

 

 

 

- I I -

где

> r

Имея в виду, что

получим

сх,

.

Итак, условие экстремума^ = Ü, получает вид:

•Xff

Второе слагаемое проинтегрируем по-.частям , принимая во вни­

мание, что

ty'e(fy)

Хс

потому, что все допустимые кривые проходят через фиксирован­ ные граничные точки. Таким образом, условие экстремума полу­ чает ВИД Хі

Это условие должно удовлетворяться для любых произвольных ou , Можно строго показать, что оно будет выполняться, если выра­ жения в скобках равно нулю.

- 12 -

Таким образом, необходимое условие сводится к равенству

Это дифференциальное уравнение второго

порядка называется

уравнением Эйлера- (1744 г . ) . Решение

этого уравнения,

т . е . ин­

тегральные кривые у= y(x.,Cit

Czj

называются экстремалями.

Только на экстремалях функционал

^^<^Ѵ/достигает экстремума.

Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала

интегрируем уравнение Эйлера и определяем произвольные

постоян­

ные С, и Сс из условии на границе

y . ( x f J z и

у(хі)-:уі.

Уравнение Эйлера является необходимым условием существования экстремума функционала. Для тогос чтобы ответить на вопрос реализуется ян действительный экстремум и притом максимум или ЫЕнн^ум,, нужно привлечь дополнительные условия. Однако, во мно­ гих случаях существование решения вариационной задачи очевидно аз физического или геометрического смысла задачи и если ре­ шение уравнения Эйлера удовлетворяет граничвым условиям, то эта единственная экстремаль я будет решением рассматриваемой

зариационноЁ* задачи,,

Отметим, что уравнение

Эйлера мояно пред­

ставить з развернутой форме. Учитывая, что у

и у ' зависят

от ІС ,

цолучаеи

 

 

Обозначим

 

 

 

i£sfv

sf'-fri

 

тогда

,

 

 

Гравяеяае Эйлера получает вид

откуда видно, что это уравнение 2-го порядка.

-13 -

Пример,

На каких кривых мокет достигать экстремум функционал

о

Уравнение Эйлера имеет вид

Общее решение

 

 

 

у - с, Cas X

+ Сг 5in X .

 

 

Из граничных условий находим

О: с, ;

1 - Сг .

Экстремум достигается

на кривой

 

 

у.- 'Un X.

Вэтом примере уравнение Эйлера легко интегрируются, но так бывает далеко не всегда, т.к. уравнение 2-го порядка интег­ рируется в конечном виде лишь в исключительных случаях.

Рассмотрим некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

 

4. Частные случаи уравнения

Эйлера

 

I . F

зависит лишь от у, и

у '

т . е .

F:Ffy,y'J

 

Уравнение Эйлера имеет вид Fy~ F^ty'-

Fy'y'ty" ' Q•

,

т . к . / Ц , ' - О ; Если умножить это

уравнение

почленно на

у ' , то

левая часть

превращается в точную производную

 

a w * ]

Действительно

=W - Fw#"] •

Таким образом, первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид

F ' W ' ï -

Поскольку это уравнение первого порядка и не содержит явно sc ,

 

 

 

 

- 14

-

 

 

 

 

 

 

то онс иокет быть зроинтегрировано.

 

 

 

 

 

iïgjssej).

Задача

о брахистохроне.

(Рис.5)

 

 

 

 

Определить

.кривуш,,

соединяющую две заданные

точки А и В

щж движении по которой материальная точка

скатится из точки

J в точку

ѣ

в кратчайшее

время (трением и сопротивлением

среда пренебречь). Поместим начало

координат в т. і

. Скорость

О

 

 

JE,

 

движения материальной

точки под

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

действием

силы тяяести

будет

 

 

 

 

 

равна:

| £

--

yßff.

 

 

 

 

 

 

c/â

-

элемент пути ,

т . е . элемент

 

^ ^ • — J ß

 

длины кривой:

 

 

 

Рис.

5

 

 

J? ;

Jl-f

(у')2

с/х.

Далее имеем:

I £7

если привести к общему знаменателю, то получим

г

или

if! '] * сі

•

Введем параметр t

, полагая

у:Сі$іп*т

, т . е .

У-^ if-Cost J.

 

 

 

 

 

-

15

-

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, откуда

у'

-. ctg

j

z^i

 

et,

 

 

 

 

et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jx , g

^

. C

o s i j

d

t .

xsfCtf-

Sin t]

* Cz

 

 

 

Т.к. уіо)^0

и

x(oJ -

О

,

находим Ct - О

 

 

 

Окончательно

уравнение искомой кривой в параметрической фор-

 

 

 

Х--*

 

[t-Sunt]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

[i-

Cost]

 

 

 

 

 

 

 

д

-

радиус

катящегося

круга. Находится из

условия

прохождения

циклоиды через точку 5 ( х

, ^

) .

 

 

Рассмотрим ещё один пример.

 

 

 

 

 

 

 

Найдем минимум функционала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции

£ ( * ; можно придать

смысл ошибки САР (Рис.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Написанный функционал

является

 

 

 

 

 

 

уН)

интегральным критерием

качества

 

 

 

 

 

 

 

 

САР (системы

авторегулирования)

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

£(•")-• Р.

 

 

 

Рис.6

 

 

 

Найдам экстремаль

при этих ус­

 

 

 

 

 

 

ловиях.

 

 

 

 

 

 

Уравнение

Эйлера имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ге-глб^о

 

или

яг£"-е--о

Q5iu.ee

решение

£=С,е

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q • О

 

;

Ct = I - £it)=e

 

\т.е.

экстремаль-

экспонента.

Смотрите также файлы