Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

рые по некоторым

своим свойствам похош на свойства расстояния.

Задача

сводится .таким образом,

к анализу

знака производной

пс

,, і "

функции

Ляпунова

V (

зі^ ... ссп

) „ вычисленной э

силу

заданной системы

уравнений, т . е . на фазовой траектории.. Итак,

в общем случае

согласно

основной идеи метода Ляпунова мы мокем;

ХІ

*}І(Х,,...

х„

, і

)

(

t

-

I , 2 , . . .

«

)

Требуется исследовать

точку

покоя

(^с;

= 0 ) на устойчивость.

Составит/! полную производную по времени от функции Ляпунова

V

(

X*

, ...

-х„

t

t

)

в

силу

заданной

системы:

Л

Эі

ft

ЭХІ

eft

?t

&

Ж

s*

1

У

Если

^ ) "

О

,

m

\f{£)убывает

и фазовая

точка (,я{,хв

...

хп)

с течением времени

стрештся

к началу координатНулевое

решение

- устойчиво. Если же !

щ >

0

,

то

'возрастает.

Фазовая

точка

( л,

,

ocz

,..,

se„ )

с течением

времени

удаляется

от

еоч-

ки покоя (начала координат).

Мы предполагаем, что

функция Ляпунова

У

{

хл

. „. х„ r

і

)

я в ­

ляется

положительно

определенной. Заметим

также, что

е с ж

рас ­

сматриваемая

система

является стационарной, т . е . в правых час-

гях время

„ г

явно

отсутствует,

то полная производная

будет

равна

в

силу

системы:

x^/if-x,

JCAJ

(

t

=

I ,

2..../? )

I

ДЛЯ щюстот считаем систему стационарной.

Теорема Ляпунова об

устойчивости.

"Веди в области

/V

существует зкакоопределенная

функция .

Y

р производная

которой по времени, взятая в силу

системы I . является знакопостоянной функцией знака.про-

тивополошого

знаку функции

V

или тоздеотвенно

обра­

щается в

нуль,

то

положение

равновесия

будет

устойчиво

в смысле

Ляпунова".

\

х і

зкм доказаны теоремы, которые делает полученные выводы правомер­

ными.. Рассмотрим

их.

Пусть задана система

уравнений

возмущенного двияенші

Возьмем произвольное положи­

тельное

число

£

и

обозначим

через

Се

границу

£ -ок-

V

ресгности.т.е. поверхнгсть ша­

ра

радиуса

£

(при

п

= 2

это просто окрузность). Будем

Рис.24

.

предполагать,

что

£

-ок-

рестность

входит

в

область

N . Пусть

m -

наименьшее

значение ,

которое принимает

функция Ляпунова

в точках

границы

С£ .

Для определенности

будем

считать

V' положительно

определенной

V

в

области

/V' • По этой причине

m > О . Выберем теперь

такое

J" , что

Ѵ</ѵ

в

S -окрестности начала координат. Это

всег­

да

можно сделать,

т.к.

У

непрерывна

и равна

нулю в начале

координат. Пусть

( -х° ,

)

произвольные

начальные

условия

в

(/-окрестности.

Поскольку

в

(/-окрестности

Ѵ<т,

то

-

114

-

РОСТОМ tt ^

V

возрасти не может, т.к. Ѵ<0

, поэтому

при

і > t,

\/ (x,(t

J, xt

(éj, ••• XnCt)I

< m

• « Траектории не могут

выйти

за пределы

£ -окрестности,, Теорема доказана.

Пример

I .

Исследовать на устойчивость точку покоя х

= 0; у = О

системы

л s

tfte/*

/ fcbU)y

at* J

* О

;

С It) S О

-,

у s~k(t)x

+сШу

к>о

В качестве

функции Ляпунова возьмем

V- жг

+

Kij*

dM.;

г х

я

+ гкуу = Zoe (ах*

кЬу)

+ &ку(-ѣх

+су)*

возможно найти анакоопределенную функцию

„ полная про-

изводная которой по времени,

составленная в

силу

этих

уравне­

V"

ний, есть

функция также

знакоопределения,

знака, противо­

положного

с V

, то невозмущенное движение

асимптотичес-

ки устойчиво".

доказательство

сводится

к утверждению 'tum. V(x,,...

x-„)*Q.

•• Откуда следует

Zlm

ce-lé)-О