Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 59

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

КАЛИНИНСКИЙ П Ю Ш Р С Т В Е Ш І І І И Л І И Б Е Р С И Т Е Т

Л.П. Постникова

ТАУНЕРОВА ТЕОРИЯ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Учебное пособие под редакцией'Г.А.Фреймана

КАЛИНИН 1973

ПРЕДИСЛОВИИ РЕДАКТОРА

В различных областях математики - анализе, комбинаторике, теории вероятностей, спектральной теории дифференциальных опера­ торов, аналитической теории чисел применяется метол производящих функций.

Учебное пособие Л.П.Постниковой посвящено методу производящих функций, точнее, асимптотическим задачам, решаемым с помощью этого метода. Опит развития математической науки показал, что зачастую исследование какого-либо объекта выгодно вести не непосредственно, а с помощью каких-либо вспомогательных средств. Так, уже Эйлер за­ метил, что исследование арифметических функций можно вести с по­ мощью специальных рядов, коэффициентами которых являются эти функ­ ции.

Именно в этом и состоит метод производящих функций. Тауберова теория - традиционное назваюіе по имени английско­

го математика Таубера, доказавшего одну из теорем этой математики.

На русский язык переведены две классические монографии,со­ держащие изложение тауберовой теории. Это книги Г.Харди "Расходящие­

ся ряды",

M [951 и

Н.Винера "Интеграл

Фурье и некоторые его приложее

ния",

M

1963.

 

 

 

 

 

 

 

Однако

эти

монографии

едва ли

можно рекомендовать для

пер­

воначального

ознакомлеігая.

 

 

 

 

 

Настоящий курс лекций предназначен для студентов универси­

тетов

и

педагогических вузов,

не имеющих специальной

подготовки,

вплотную

примыкает

к основному

курсу

анализа и теории

чисел и

в

систематической форме подводит к вопросам, в которых ведётся научноисследовательская работа.

i'.ype лекций был пі«читан в Московском государственном педа­

гогическом институте им. В.И.Лешшя автором.

Г.Л.Фрейман

ОТ АВТОРА

Основы аналитического метода в теории чисел были заложены великим Эйлером. Начало XX века ознаменовалось большими успехами этого метода, - развитие аналитической теории чисел приняло как би лавинообразный характер. Большой вклад был внесён аігглийскими учёными Харди и Литтлвудом.

Метода, которые здесь возникли, оказали значительное влия­ ние на формирование математического анализа^ а также на ряд дис­ циплин, использующих аналитическиеметоды, в том число на теорию функциональных уравнении и теорию вероятностей.

Настоящее учебное пособие адресовано студентам-математикам, интересующимся приложениями аналитических методов.

1 .СУМИРОИАІМЕ РЯДОВ МЕТОДОМ CPIiUUMX А ФАКТИЧЕСКИХ

§ I . Лента о пределе среднего арифметического

Мы начнём с одного тривиального утверждения теории пределов. Лежа. Если числовая последовательность

имеет предел

 

U/n

Хп = CL ,

П-г С-л

 

то и последовательность

средних арифметических

X, *-Х2

Xj_ +Х2

+ ...+ Хп.

X

 

 

 

имеет тот же предел

a

 

 

 

 

 

Доказательство настолько

простое,

что только обязанность

оыть пунктуальным заставляет нас его здесь воспроизвести. Прежде всего, всякая сходящаяся последовательность ограничена, поэтому

существует такое

число

Л

,

что при любом

 

 

 

 

 

I

x J

^

А

,

 

 

 

 

 

 

Из того, что / с

п г

Хп-~

CL

следует,

что

 

 

 

П. -reo

 

 

 

ѵ

 

'

 

 

 

 

 

 

 

I

a \

é

à .

 

 

 

 

 

 

Зафиксируем

В

>

О

. В

силу

то. о,

что

Um.

Хп

~ CL?

найдётся такое

зависящее

от

Е

 

число

Ао

С£)

 

, что при

Теперь проведём

 

такую оценку: при

 

/Î/

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\CL-Xii-

 

CL-Xz

+

•-» +

# - X > i |

I « ~xj + . . . -на. - XAt-zl + 10.-/^1 +...+ | а - Х д )

_ 5 ..

_

\сі\

+ )XJ +- ...+(€11 + 1x^1+

âÇn-Ai+d)

 

_____

 

/ 1

c

/ г

В виду этого неравенства іі]>и достаточно о'олыном П-

Но £ можно взять сколь угодно малым, значит

Urn. [а

-

.

) =

о,

/7 -*• гг^.

 

 

 

 

т . е .

 

 

 

 

Cl/tv

-

 

- f-i-

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

Нам следует

подумать

над

теі.\ ещѵшедлігво ли обратное

утверждение, т . е . поставить себе такоіі вопрос: задана ппкоторая числовая последовательность

причём известно, что последовательность средних арифмети­

ческих

имеет

піедел

 

 

 

 

 

 

 

/.

XL

-г Xz

+ ...

+ XtL

 

^

 

 

ІСПЪ

 

—

 

•=u .

Следует

ли из

этого

, что

и.:",_,Т'.(і ш^дед

;

ііохочіюіі посю-

дователыюстн

{^у,}

?

 

 

 

 

і с>но£л ,і\п п<:

Нростие

примири нокаинь-чп-.:, чіо,

•

\ е

так. В самой

дело,

]->соі ютиим

п о с л е • • • н о с т - ь

1, о, i, о, i.

Эта последовательность не имеет предела. Рассмотрим теперь последовательность средних арифметических. Мы заме­ чаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/I

-

чётное

 

 

 

 

 

 

 

 

/

/2

-

нечётное

Инши

словами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xL

 

*• х 2

+ . . . + х „

"

I

 

J

•>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

L

J

-знак

целой

части.

Поэтому

 

 

 

 

 

- і

<

Xt

*Xj> i- ... '- X,,

 

 

 

 

 

5

 

/г

 

 

 

 

 

^

1

+ 1

•

 

 

 

 

 

 

 

^

p

/ г .

Из этих

неравенств

очевидно

следует,

что

 

 

 

 

<Г іАгг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/і -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІѴІѴІ имеем

отрщателъныи

пример

на

наш вопрос, т . е . имеем

пример последовательности не имеющей предела, однако такой,

что последовательность еь средних арифметиче.-'.дас имеет предел.

Наметим, что лемма о пределе среднего арифметического

имеет

"непрерывный

аналог". Под этим мн понимаем

следующее

утверждение: пусть

на

полупрямой

(

О , &<г> )

определена непре­

рывная

ыунгцпя

 

/

( U )

, предположим, что

при U -*~

существует преда i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и. •—

тогда будет существовать н предел среднего н этот предел будет равен CL , т . е .

 

t

 

о

 

 

 

 

Доказательство аналогично доклаптельотву леммн о пределе

среднего арифметического н г.лл здесь его воспроизводить не

будем.

 

 

 

 

 

 

 

 

§

Я. Теорема Мещера

 

 

Итак,

если

числовая

последовательность

имеет продол,

то

и последовательность

средних

оргоТштических имеет предел,

а

обратное

не всегда

верно.

 

 

 

Рассмотрим

теперь іуія длиной числовой

последователь! юо-

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х і . ,

*я

,

• . • ,

Хп. , . . .

( I )

другую поеледоветольность, которую іілпоніл.і "компромиссной"

На основании леммы о пределе сродного арифметического m паіслючпем, что если исходная последовательность (I) имеет' пре­ дел

lim

Х,і ~ CL 7

то "компромиссная" последовательность toxîo будет иметь пре­ дел

(Ст. (Ха + * ^ ^ * - }

=2а.

Зададимся теперь огірятнмм вопросом. Дана числовая после­ довательность ( I ) , известно, что связанная, с неіі компромис­ сная последовательность (2) п:.*и:ѵ ніюдел

- Ь -

Смотрите также файлы