Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

- 6 -

Хрквыз у

te)

и у<(х) близки Б смысле близости К -го по-

рядка, •золи малы модули разностей /у -у/і/у

'-у,'/

ІІу"~у"І

Из этих оцредѳлений следует,

что если

кривые близки в

смысле близости

К -го порядка, то они близки в смысле близости

любого меньшего

порядка.

ТбЕбрь мы моаем уточнить понятие

непрерывности функционала.

Йункцнонал

Э[у(х)]

непрерывен при у-уц(х)

в смысле

близости

К -го порядка

если для лабого положительного

£ можно найти

такое і>0

, niohfyfr)]-3fy0(x)Jj<

£ при jç/(x)-y^xjj

< S ;

. Iy!(&}-y'0(x)l<£

; . . . . . 1иК'(х)-уо[х)1<^,

при этом

под­

разумевается,

*ж>_ у(х) берется из того класса

функций,на кото­

ром функционал

ощ)еделен.

Рассмотрим понятие

вариации функционала. Это понятие аналогично

понятию дифференциала обычной функции.

дениями.

Рассмотрим функцию

Возьмем её значение в точке

sctdäX

, т . е . j-fx + dâx).

Пусть х

и лх фиксировакк, а пара­

метр

к

меняется. При^= 0 получим исходную

функциюуѴ^при

d * Т

получим приращенное

значение J(x*âx),

іЗокажем, что произ­

водная от j(x.*Uux)

по

прИ(^= 0

есть дифференциал функции

/(х).

В самок деле,

имеем

ÄJ - J(X+c(4X)-

/(*)

-

z/'(лсЫаХ

)ах/Ыі0

=

J'(X)AX.

Можно рассуздать

иначе.-Считая

d малой величиной,

разложим

Л 3 (d. I в ряд Тейлора при d = 0.

*

аЛ

+ ^-^Л

* ...

Отсвда видно,

что вариация Ій-

J ^ ^ . ^ есть главная часть

приращения функционала, аналогично

тому, как дифференциал есть

главная часть

приращения функции.

Величина

у

у

Ь<*-а/и<о

называется второй вариацией функционала.

Дадим следующее

определение.

Функционал У[у.] достигает

на кривой y~y,oLx)

максимума,,

если значения функционала JfyeCxj]

на любой близкой к jj'tfotef

кривой не больше,

чем OCfol*)]

,

4.e.j3°Jfpfixrf-Jffo{xj*.0.

- 8 -

Аналогичной определяется минимум. В этом

случае л J » 0

для

всех кривых0 слизких к кривой

у.

=у0[х)

Теорема

"Если функционал

Jfy

(X)J

достигает максимума

или минимума при

ц,-ц0(х)

, то при

y-foi*)

ft* о*.

'

Доказательство

При фиксированных у 0

и Л/ значение

прираще­

ния функционала а

У = 0[y,lx) -dfy].

У ч е с т ь

функция пара­

метра

d.

„ которая,

по предположению, достигает экстремума

при d

= 0,

поэтому

Ч''(0)= 0

um-^-u[y0(xJ+c<-fy]u..0-M~0-

Итак,

на кривых,

на которых функционал достигает экстремума,

близость имеется в

виду.

Если функционал

достигает на кривой }J0(x) экстремума

по отношению ко всем кривым для которых модуль разносіи

Если же функционал

Уff

достигает на кривой у„ faj экстре­

мума по отношению ко всем кривым близким к ус(х)ъ

смысле бли­

зости *-го порядка,

го экстремум называется слабым.