Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

-

ш

-

Ііоско-чііку

t

г.-.алая величина,

гложад

палисптьь

г

I Fc/t

-- F fx*.

• ••

20% ;

uf\ .

u£

j t .

О

Таким образом

S,

min

[F(x;w/r

* Sa

* I t

fg. f,

(oc;

u'frj,

Utr.- Um

~'*

6

откуда

следует

men

ff(*%

w;+

f

/ , ice°,

w j j .

о

Согласно принципу онткѵальност:: это

выражение долыю

онть

справедливым

для

текущих

координат ж

г

&

(

поэтому

ГПСп

[F(cc.üJ+ І_ g

h

(*. иJ]

= о

'ovo и

есть функциональное

уравнение

Бь-ллмане

т . е .

условие ОП-

ТШаЛЪНОСТК.

Полученное

условие означает,

что

минимум

выражения.а. скобках

по управляющим параметр™: равен нулю. Для получения значений

уирышіющих

наянмь'.;;ов,

ш(н»1миэирующих этой выраяение, нуяаго

взять частные пгмииэодшк. ло Ut,

Um ,

результате

получа­

ется система

ургт.-ниіі

і*ли

U

-

управлыг.к ,

::.'.ііденное из этой системы, т . е . оііти-

.ллыки. Уііргшлокисі, то знг',еі;:е

/Ѵіп

равно

нулю

г.и.

•з этого

ура'ьнсш:я шг/л

быть

наіідеііа функция

S(•*,

> • •

хп)

'ле?о„

••;ікам!іческо:,о

л^ограѵ.ѵлровання

приводи? к

уравнениям

Рассмотрим

пример из

области

аналитического

конструирования

регуляторов. Пусть объект

описывается

уравнением

2-ѵо порядка

с постоянным

коэффициентом

J±*

*

a,

d±L

+ а„ X

=

KU .

dt

Имеем, следовательно,

систему

( J C » Ä > )

&г

=//

хг

» - с/,

ягѵ

-

а,гсг

* KU

-

/г

В качестве

критерия

оптимальности

примем функционал

с

Требуется найти уравнение

регулятора

ц. /fx,

,xtJ

.

Составляем

уравнение

Беллмана

дифференцируем по

U

откуда

<?s

Подставим s

1-ое уравнение

значение

ц

а,*?*****

'Щ-Ъ-

fa*'****)&ь

- Юч -

где - ^, ,

, jf-It - некоторые

положительные коэффициенты(

подлеяащие

определению,

линейное

у, • вненме

и приравнять коэффициенты при одинаковых

степенях

j

' ,

и

зсг

„ то получим алгебраическую нелинейную

систему для

коэффициентов

^

, s#/t а

. Необходимо ваять поло

лмтелыгое

решение. 'Таким обрезом,

Ц= - — ^Л-

- -

%Г-^Чг&і

- /Се#з3С£г = df

W, -h ОІ. Іі^

-

106

-

Пусть

-х,- s У;

[i J

-

некоторые решения

этой

системы,,

определяемые начальными условиями

•

щ

£..><,/? 3»

Обозначим через Х- -

сг£- (4 J

-

некоторые другие .решения,

соответствующие другим начальным условиям

^(éaj

• -х/ •>

Решения

# it

J

называются устойчивыми в смысле Ляпунова,, если

для любого <£>0 существует такое

o(€j>0

, что из неравенства

следует

нері

іенство

при

t > t0

(

à = ï„

2 . . .

n

)

ся близкими при любых

і > t„

. Мзяно дать следующую геометрнчес-

кую интерпретацию этих

условий при / 7 = 2 :

любое решение

У^У,

начинающееся при t» 4

в

</ -окрестности

точки С А / Р АГ/>

не выйде? зе

аредедн

t~sp

осью которой

слузиг

sefc).iSsa.Vä)

Решение іН)

называется

асамгео-

тически уотойчззш s смысле Ляпу­

нова, еелн оно устойчиво s сішслѳ

•**

Ряс.19

Ляпунова Е если еэдэсгэуея saaoe

•: что

при /sc ft J -

<• h

будем аметь

Это означаете что решения0 отличающиеся з

начальный

аюмент на

величину ^

(вообще говоря,

в некоторой метрияе)} с

течением

времени неограниченЕО сблиааттся. Если условие I вшкмшяеяся

при любых

А . то говорят, что решение

$HJ асимптотически

устойчиво в

дедом.