Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
Теперь нетрудно |
показать, что |
функция Вг(х) |
суммируема |
|||||
на [0,2л]. Действительно, в силу (3.6), (3.7) |
и (3.8) |
|||||||
2іс |
|
|
2л |
|
|
|
|
|
J [5г( х ) | ^ < 2 1 й т | | ДАД х ) | У х < г * 2 ~ Л Т ^ < > - |
||||||||
О |
fc= l |
|
0 |
|
|
ft= l |
|
|
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 3.2. При любом /> 0 ряд |
|
|
|
|
|
|||
|
со |
|
Пг |
|
. r i z |
|
\ |
|
|
|
cos —2“ |
stn—g— |
|
|
|
||
|
-------- cos Æx + |
— -— sia Æx |
|
|||||
|
2k = 1 |
Ær |
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является рядом Фурье функции Br(x). |
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем вначале, что |
|
|
||||||
|
2~ |
со |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
cos I k x ---- |
dx = |
0. |
(3.10) |
||
|
|
kT |
||||||
|
П-> со |
ft2= |
|
|
|
|
||
|
|
л+1 |
|
|
|
|
|
|
Действительно, в силу преобразования Абеля |
|
|
|
|||||
N |
N - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ик ° к ~ ^ |
[а к ик + \ ) Ѵ ft “Ь 11рУ N |
|
а п+-У ш |
||||
k= л+1 |
&—fl+1 |
|
|
|
|
|
||
Vk—VI + ^2H- • ■. +£+, будем иметь |
|
|
|
|
||||
N |
/ |
n z \ |
N - 1 |
|
|
|
|
|
'% ^ |
cos 1kx': |
|
^jU r |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
А іг W + |
||||
k = n+1 |
kT |
|
( |
|||||
|
|
ft = л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(•*> |
^«r (■*) |
|
|
|
|
Отсюда следует, что для х Œ (0, 2л)
|
|
COS\ k x --- г% |
1 |
1 |
|
X |
|
|
|
|
|||
|
2 |
kr |
kr |
(k + |
l)r |
|
|
|
h = /Ï -|—X |
|
|
|
|
|
к --- л+1 |
|
|
|
||
|
|
X Dkr (x) |
(« + l ) r |
|
(3.11) |
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая (3.11) и (3.8), получаем |
|
|
|
|||
2л |
|
cos [kx — nz \ |
|
|
|
|
|
|
|
12 In А + |
71 ^ |
2ІПЯ + Д |
|
|
|
~2J dx |
л |
|||
|
|
|
|
|
||
S |
|
kr |
f t - л + 1 |
|
|
|
ft= n+l |
|
пр.учко -техни ,ѳ н й .* { |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Сі.Сгьіоіа,.е СОСР |
||
|
|
|
; |
г.тзгигтляр |
||
|
|
|
і |
ч’-і'"‘Ч-»ьйего зала |
||
Остается перейти в последнем неравенстве к пределу при п-х- со. Соотношение (3.10) доказано. Теперь уже нетрудно до казать и утверждение леммы. Действительно, пусть ѵ —: нату ральное число. Тогда при /г^ѵ
2 |
я |
|
cos ■ |
|
Вг (х) cos ix dx ■ |
||
|
|
||
+ |
f |
cos ( kx — |
COS vxdx. |
|
kr |
||
|
|
|
|
оLft = n +l
Переходя в этом равенстве к пределу при /г-*-оо, на основании (3.10) получаем
2* |
|
|
1 |
rit |
|
■ 1 |
|
|
(3.12) |
||
|
|
|
V C0S-T - |
||
О |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Аналогично показывается, что |
|
|
|
||
„ 2- |
|
|
1 . |
rn |
(3.13) |
|
|
|
— Sin- J - . |
||
|
|
|
V |
|
|
Наконец, поскольку при любом натуральном п |
|
||||
2ъ |
|
2 к |
оо |
|
|
Br i x ) dx = |
J |
cos I kx ---- |
dx, |
||
2 |
|
||||
|
|
0 \6 = и + 1 |
|
|
|
TO |
|
|
|
|
|
1 |
2r |
Br (x) dx = 0 . |
|
(3.14) |
|
— j |
|
||||
Лемма доказана.
Сл е д с т в и е . Яри /->0 и &= ±1, '± 2 ,... справедливо ра венство
|
— Г Br (x) e~lkxdx = —Ц- , |
(3.15) |
||
|
к J |
гК ’ |
{ik)r ’ |
|
где |
|
|
|
|
2тг |
2и |
|
2т: |
|
j |
ВГ(x) e~~lkxdx — J |
Вг (л) cos k x d x — і j Вг (х) sin kxdx, |
||
и по' определению |
|
|
|
|
|
(ik)r = I k Ir exp (i |
sign k]. |
(3.16) |
|
Действительно, в силу (3.12) и (3.13) при k — l, 2,...
■— f Вг {X) e~ikx dx = -----Ц |
- = |
. |
|
J |
с — |
(//г) |
|
0 |
kre |
2 |
|
Если же k = —1, —2,..., то
f Br (-*) е - 1кхd x = ± - J Br (X) е11*1Xdx =
W
\k\re 2
Утверждение доказано.
Для дальнейшего нам понадобится представление тригоно метрического полинома Тп{х) вида (3.1) и его дробной произ
водной Гя *(х) вида (3.2) в комплексной форме. По формулам Эйлера имеем
Тп (х) — Ап + |
(л) |
еікх + е Ікх |
(«) еikx |
Ikx |
& k'------- чі----------b bk |
21 |
|||
|
ft= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= An + 2 \ ^ { a ï n)- i b ï n))e ikx + ^ { a l n) + ibïn)) e - ikx} = |
||||
Ä= 1 |
|
|
|
|
|
= |
V M e lkx, |
|
(3.17) |
|
|
k=—n |
|
|
где
-^-[а[п)~ i b {kl)) при k(= [1 :/г],
^л) = A„ при k = О,
|
■^[a-l + ib-l) при |
А е [ — ѣ\ — 1]. |
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
T V (X) = |
2 |
U |
|
- |
ß _ 1 ' ^ |
\ |
|
' |
|
JL //,(”) ( у М _ ф ( “+Д)}= |
|
|||
- 2 Ф М " > - й П / Д 2 « '" + |
|
|||
|
k = l |
|
|
|
+ ф (аР + |
гбГДі'е 2 |
= |
2 ’ |
(З-18) |
k= —n
где штрих у суммы означает, что отсутствует слагаемое, соот ветствующее k = 0,.a (ik)T определяется формулой (3.16).
Введем обозначение
2л
М Ф ; *) = ~ J b ( t ) Br ( x - t ) d t .
о
Функция /ѵ(ф; х), которая называется дробным интегралом по
рядка г > 0 от Ф(а), непрерывна, если і|і е С. Это следует из ра венства
|
|
2т: |
|
|
Fг (ф; А') = 4 - } ф (а - |
/) ВГ(t) dt, |
(3.19) |
||
|
|
о |
|
|
справедливого в силу леммы 2.1. |
|
имеет |
||
Лемма 3.3. Пусть тригонометрический полином Тп (х) |
||||
вид (3.17). Тогда |
|
|
|
|
Fг {Т |
X) = |
J |
|
(3-20> |
Действительно, в силу |
(3.19), |
(3.15) и (3.14) |
|
|
|
2- |
|
|
|
Fr (Тп- X) = -L f |
Тп {X - |
1) ВГЦ) di = |
|
|
|
О |
|
|
|
fe=—n V |
ü |
|
/ fc=—n |
|
Лемма доказана.
Теорема 3.2. Для того чтобы непрерывная 2я-периодическая функция f(x) имела непрерывную дробную производную по рядка /•> 0, равную ф (а), необходимо и достаточно, чтобы
2- |
<р (х) dx — 0, |
|
J |
(3.21) |
|
о |
|
|
и имело место представление |
|
|
f i x ) = ^ t + |
~ j «p (О ВГ(X - t) dt, |
(3.22) |
|
о |
|
ade a0— некоторая константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о с т а т о ч н о с т ь . По второй тео реме Вейерштрасса (см. Введение) найдется последователь ность тригонометрических полиномов {Qv}, п= 1,2,..., такая, что при /г-»- оо
