Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 54
Скачиваний: 0
объединение |
}-L Х |
- измеримых множеств, является |
^х_к.^».иі |
- измеримым, применяя к этом.у множеству формулу |
|
/2,2/ и принимая во внимание /3.У/ и /3.4/, получаем |
что .H требовалось доказать,
4.. Теорома фубИнц.Этот пункт содержит основной резуль
настоящего параграфа - теорему Фуоини. Согласно теореме муо интеграл по произведению yu.( х jj.^ мер ^хх и JU^
можно вычислить последовательный интегрированием, сначала по
|
|
и затем по |
Jj.^ |
|
, а также, - сначала noyj . ^ |
|||||||||
и затем по |
уии, |
. Начнем о |
определения, которое описывает |
|||||||||||
функции одной переменной, получаемые из функции двух |
пере |
|||||||||||||
заменой одной из переменных на постоянную. |
|
|
|
|||||||||||
|
4.1. Определение, Пуоть дана произвольная функ- |
|||||||||||||
ция |
f |
f f f t o - ^ ü V |
, |
гдеR e = f t , X Üx |
|
, |
|
|||||||
W,^ |
Й ' |
t R ^ ^ l ï ^ |
1 |
. Произвольный элемент |
Ій0 |
|
||||||||
допускает естественное представление.вида |
ï — |
Сх ,^.1 |
і |
|||||||||||
где |
x f e l f t , |
1 |
^ € І Й Х |
|
.В связи |
с этим, |
значение* |
|||||||
t»> |
|
функции |
|
|
в точке |
г |
мы обозначаем |
|||||||
также черев | іч, ^ |
|
: |
-f С а ) = |
Ç W, ^ ) |
- , и, ѣ |
|||||||||
аовиовмоотя от обстоятельств, |
трактуем { |
|
как функцию |
|||||||||||
одной переменной, |
пробегающей |
Й0 |
|
, или, как функцию |
||||||||||
двух переменных, |
из которых «первая" пробегает IR, |
, а |
||||||||||||
и |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х0 6 T\f>,]D(-Ç) |
|
||
іторая - |
|
ftj. |
|
. Для произвольного |
|
|||||||||
черев -С*,' |
|
обозначим функцию / одной переменной, |
пробе |
|||||||||||
гающей |
|
/, определяемую соотношениями |
|
|
|
|
||||||||
K U * ü w ) < . , |
|
( < . ( ^ т Ч х в |
> £ ) |
|
|
при r |
M |
j |
||||||
J сМіОяределевяе 2.1/. Аналогично, |
для произвольного ^ 0 |
é |
112
v^0 è лгр^1> (.(-Л |
t черед {обозначим функций |
|||||
/одноіі переменно!;, пробегающей |
ft, |
/ определяемую сооіношв- |
||||
ниями: М Р ' Л * " Ш ) ) * , P 4 * i = U * . * > ) |
п р и . |
|||||
х . - З ^ Ц 4 ^ |
• |
пункции . f ^ |
и £ |
называются |
||
сечениями уункцин f |
, отвечающими, соответственно, зна |
|||||
чению х„ |
первой перииоииоИ и значения |
второй |
||||
переменной. |
|
|
|
|
|
|
Например, |
если |
тт., =:тх^з 4 , |
£ix,jj.)^aX |
, *<> = 3_ , |
Сформуліруем теорему фубини.
4.2 Че о р е и а. Пусть
|
|
|
и - |
U у U |
|
/ 4 , 1 / |
|
где |
yu., |
- }>SSiJiS^SLZ^^^iSSSJ |
|
Iftt ~ Ift 1 |
, |
||
_â, u.t' |
- «е^а^Лебега^Сдйлиьесз^ в^^-Й"1*- |
, |
|
||||
Пусть |
= |
X |
Ш г |
іі^цота { : R e — > С |
- про,- |
|
|
И^ВМЫШЯ^УЗК^ШІ |
|
Д . -JHIMrjHjpjjeM^H^^ |
|
|
|||
жестве 13 С ІЙ^ |
» |
JE°£5§L |
|
|
|
||
|
А|/ Для всех X. €, oo.pi 7) |
, aajigKÄ^MaHjiejMjraoae^ |
|
||||
•ЕВДеыйЦи? Т)х • |
|
' |
' ,• |
|
|
||
|
А2/ Для всех |
6 ^ра.!^ |
'•, а^а исклотетаем^с^іеояа |
|
|||
/*т. ~ JtSEJiJïïïï* JîSïïSM? "f ^ |
двляется |
ул — jtS^erjpj- |
|
||||
|
>Бі/ І!Х55ШІЯ |
ï з^даниая^раве^мОм |
|
|
-113'
yu». - почти всюду на jmoaecrae ^р^І) тегрируепі на этой множестве.
В/ Имеют место равенства
S « ^ " S М л = S M / *•1- )
-151ьА^°Д??Л10ДР.0^ных обозначениях,
пишется ,Ц.ц_- Шг
A.г/
Доказательство. Предположим, сначала,что |
||
^ t a l > О "Р" |
- |
Тогда, в силу предложения З.г |
|
|
/4.4/ |
/ ом.оьределение 3.1/, где |
J*.M - мера Лебега в . |
Поскольку произведение мер ассоциативно, |
то, в силу /4.1/, |
|
• f. X ^ J L U \ = yU( X |
X |
/4.5/ |
Йовтому, применяя предложение іі.к, находны, |
что за исключе |
|
некоторого множества точек х t |
(,î> • О |
сечение (D' |
- 114 |
|
|
является j x x |
X ^кх. |
- измеримым подмножеством простран |
|
ства l U ^ X W |
, а функция i f , определяемая соотно |
||
шением |
|
|
|
|
|
|
/4.6/ |
jx, - почти всюду на множестве <пр( CD*f ) |
является |
||
ц, - интегрируемой на этом множестве и • |
|
ИЛИ, в силу /4.4/ и /4.5/,
поскольку, как нетрудно видеть, ^vpt |
* -f V—- огхр^З^ /см.рио.Ч |
Применим теперь предложение ü.£ к правой части равенства
/4.6/ / для произвольного фиксированного X , для которого
=
это равенство выполняется /. Легко видеть, что (D'/f )tx,ij . l
= 3 > U . y = l u * R * ! |
|
/см.рие. в,/ - |
|
Так как |
V І> |
t1*'^1 ~ |
« 'о»в °«ЯУ предложения |
а.Е, функция j x |
является |
^i„_- интегрируемой на J)H * • |
|
|
|
/4.8/ |
1 |
J)^ |
есть проекция на |
инбжботва ( î ) ' 0 , " /«*• |
|
рис. 4,5 |
/-• |
|
|
|
115 |
|
Отсюда вытекает утверждение А^/ Подставляя /4.8/ в /4*6/, видим, что ц> = F,
и, следовательно, |
|
доказано предложе |
|
ние B j / . Наконец, |
|
принимая ѳце во |
|
внимание Д,7/, при |
Рис.4. |
|
|
ходим к первому из |
|
равенств /4.и/. Ана |
|
логично доказываем |
|
Предложения А2/ и Eg/ |
|
ж второе равенство /4,к/. |
|
Случай функции, при- |
|
нямамея произвольные ве |
|
щественные значения .сводит |
|
ся к предыдущему с помссьо |
|
представления f = f+ - { " .где |
|
т |
• |
£ |
приплывет лииь неотрицательные значения. Пос |
|||
кольку комплексиоаначная |
. ' |
ЦА - интегрируемая функция ( Ç |
||||
предотавжма в виде Ç & |
4- |
i f |
где f i . и f i |
|||
вещеотвемяовначнн |
h: |
интегрируемы, то теорема верна |
||||
в общеЫ охучаа. |
|
|
|
|
Ь, Условие, при котором из существования ПОЗОРНОГО ин
теграла вытекает существование кратного; Ьсям мера jx, явля
ется произведепиеы некоторых мер LLX |
, LL^ |
Я жедатеяів» |
подчеркнуть это обстоятельство, то |
~ л,авт1>ах и*зн*вв' |
Kjiaîuuu. Например, первый член двойного равенства /4.3/ являет ся кратным интегралом, йтороі и третий член этого двойного ра венства называют обычно повторными интегралами, таким образом, основное содержание теоремы фуоипи заключается в том, что слюствованиѳ кратного интеграла влечет
H j K j n i T ^ r p a ^ B j ^ ^ Следует иметь
ввиду, что обратпое утверждение неверно, то ест» « на существо вания повторных интегрэлов существование кратного интеграла, вообще говоря не вытекает.
5.1. И р и мер. Мы .имеец |
|
||||
однако, обозначая 3) - Ѵ |
А*" ; 0* * 4 |
1 , 0* ^ M } |
|||
находим |
|
|
|
|
j |
Другой примврг |
пусть при V - 4 , I i - " |
||||
' |
при £ < х < - ^ . _ |
«. ^ < > < р г . |
|||
|
Ш Л |
при ±<*<і, |
* |
|
|
|
для остальных значений |
С* ") . |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
-I