Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
i . |
Восстановление |
меры |
по производящей функции. |
|||||
Пусть |
- ограниченная неубывающая функция, |
заданная на одноме |
||||||
ном основном промежутке Д 0 |
. Отметим, что |
в каждой внутрен |
||||||
ней точке |
У. 6 Ло |
существуют конечные односторонние пределы |
||||||
с^и-О4) |
|
и о^то-О) |
, а на концах dc |
|
и - і 0 проме |
|||
жутка |
|
существуют конечные пределы С^ЫсЛ'О) ' и ^(/іо _ 0/ |
||||||
Потребуем выполнения следующего условия: если пооіежуток. Д |
||||||||
открыт^слева, то |
W 0 |
+ 0^ ™ 0 |
. Зададим функцию JA. иромскут!' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cri |
Л СЛ о |
следующей формулой |
|
|
|||||
Д ^ С |
, |
/ьіоУ) ~ |
|
С. (Ь +СЛ - ^ Ы і о ) j |
||||
здесь подразумевается, |
что в выражении - i і О |
, а такие в |
||||||
выражении ^ + О |
, знак в левой части равенства такой же как |
|||||||
правой.
4. 1ПредлояеНие . Шірзделе^на^я_дыше^фщвдия. Ц.
яь^ется^иерой Стильтьеса. Пдк^зводящие футсцші_этоР(_ыеры.опреде ляются формулами:
Ѵ ° °= |
(^Іх + О) , |
со = ^ Сч-О) • |
|
Предварительно докажем такую лемму. |
|
||
4.2 Лемма. Пусть |
^ Д п \ такая последовательность |
||
промежутков, |
что |
&<>^А.\~эАяр- • - |
и |
Тогда длина промежутка |
стремится к |
0 при -^оо |
|
ивозможны лишь следующих два случая: 1/ Начиная с
некоторого '"л- все промежутки имеют общий левый конец и
не содержат этого конца. 2/ Начиная с некоторого -п. все про межутки Л.^ имеют общий правый конец и не содериат этого конца.
|
Доказательство. Обозначим через |
1 |
х общее |
|||
значение пределов Ііты.* |
и turn/Ь^ |
, где ol„ |
- левы!!, |
|||
a /і^ - нраиый конец промежутка Д ^ . Коли |
<х |
< |
||||
ѵш neex '.шач(.'.ииі! •'П , то Х £ |
(\ Û-v, |
и пересечение исех |
||||
не пусто, ЛОУТОІ у, д.ин всех достаточно больших •vu либо |
||||||
' л,, -X |
и Л ^ С Д ^ , либо |
и ^ |
е Д ^ |
|||
Доказательство |
нредлон.ени я.4.1 |
|||||
Неотрицательность и аддитивность меры ja. |
очевидна. Для того, |
|||||||||
чтобы доказать ішрі-а.-імюоть,рассмотрим произвольную убывающую |
||||||||||
последовательность \ Л^, ]" |
променутков |
из |
Лq |
с пустым пере |
||||||
сечением. Пусть сначала |
А т ~ (* +0 і |
- О) |
для всех доста |
|||||||
точно больших'TV . Поскольку |
<^^(Ъ^іО)-* C ^ x v û ) |
при |
||||||||
-лн><~ |
, то |
/ Ц О ^ 9 ^ ( i w i C 0 - * ^ U + O ) |
|
|
||||||
при —> ос |
^Согласно лемме 4.І, возможен еще случай^согда |
|||||||||
Д^.= Се'-і\-0 ) Х-О) |
|
для всех достаточно больших |
. Этот |
|||||||
случаи |
рассматривается |
аналогичным способом |
|
|
||||||
|
Проверку справедливости утверждения, касающегося функций |
|||||||||
|
рекомендуем сделать самостоятельно. |
|
|
|
||||||
1 |
Таіс как |
$ ... |
» |
|
, то существуют пределы |
|||||
|
Ысу\ оі „ • , д = ?І'-ГѴ) |
|
. Мы имеем и<р> |
ибо,если °і<^Ъ ,то |
||||||
?, |
Здесь мы используем такое утверждение: пусть функция £ задана |
|||||||||
|
на До : и в каждой внутренней точке я 4 Д 0 |
существует |
||||||||
|
конечные односторонние пределы |
|
и ^ t * - C j ) |
.Тогда |
||||||
|
Для доказательства достаточно заметить, что существует такие |
|||||||||
|
x j , x " , |
"!ля которых |
х<х^' <Хл,<х^' гх„ + 4 |
" |
||||||
|
Наше |
утверждение вытекает из того, что Яі/ѵтл Ç |
"> ~ |
|||||||
5. Миогрмерный одумай. Пусть fx - мера Стильтьеса, эад
. ная на TL -иерных промежутках Д , содержащихся в основном
промежутке А 0 = « t 0,(Ь°ѢОІ К . . . ч Ы ° + 0 , ^ ° t О) . Подобно одноыерному случаю, мы можем образовать "производящие
функции /теперь их количество равно 2 ^ |
/ |
|
~ = M . ( U Î t O , x , i O ^ |
X ('< |
кО,х„+о) |
зт тѵ. независимых переменных. Функция <g + .ограничена,
ие убивает, по |
при фиксированных |
. , *.к<.( |
Х-ц |
и непрерывна, со соответствуете!) стороны |
, к = |
|
|
Это утверждение и его доказательство аналогично предложению
|
Рассмотрим обратную задачу. Пусть |
есть ограни |
|||||||
чивая функция от (х, |
Хѵ\) |
, неубывающая по |
х, |
||||||
:ри фиксированных хЛ |
, х,<.^., , ... , х~, . |
|
|
|
|||||
"зп |
построения по этой функции /точки/ соответствующей меры С |
||||||||
.*>еса введен следующую терминологию. Вершиной промежутка Л |
~ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
будем называть |
|
||
-рошавольную "точку" х^'С^Ч |
> где ^ |
- о ^ ± 0 , |
|||||||
|
|
|
|
либо уj• = |
t 0( j= |
/, . . _ n |
|
I с тем |
|
чв знаком |
+ |
или ' - |
, что и в выражении "для А |
/. |
|||||
ірев |
" ^ ( . ^ |
обозначим число тех "координат" |
|
вершины |
|||||
\£ |
, которые равны соответствующему |
і 0 /т.е., меньшему из |
|||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
г?тх возможных значений /. Положи* |
|
|
|
|
|||||
fx |
{^)- |
J J L ( W , t O , j V o ) x . . . ) ( ( < І 0 | ^ І 0 |
, ) ) |
= |
|
||||
?д» |
.2^ |
распространяется на все 2 ^ |
вершин промежутка Л |
||||||
Та* »*данн%я функция уц. |
является мерой Стильтьеса. |
Доказыв |
|||||||
йте «о іак же как и предложение 4.1. |
|
|
|
||||||
|
Рвковеидувм пржмвіить эти построения к мерам, описанны |
||||||||
ауіітщ, 8.2 |
л двухиериом а трехмерном случае * |
|
|
|
|||||
- 10 -
Пример: Пусть ru = 2 |
и Л 0 = 1 D - Û |
|
, ß , + o ) X ( ö - O , ß ^ ü j |
, |
||
а уиЛД) есть площадь прямоугольника Л С А 0 |
|
|
||||
Тогда все четыре нроиаіюдшцие функции равны |
U ( |
,ХдЗ :3 Х( |
Хд_ |
|||
Пусть Д - А ^ Л ^ |
1 где |
- одномерный промежуток |
|
|||
с левый концом Ы. • |
и правым Лх |
, |
\ --\ |
• |
|
|
Тогда
Рис.1,
I
G. Алгебры элементарных и борелевских множеств. Задача
о продолжении меры Стильтьеса. Система GL |
подмножеств множества |
||||
)( называется алгеб^ой^шжес^тв, если выполняются следующие |
|||||
условия; |
|
|
|
|
|
1/ |
X |
€ & |
|
|
|
г/ЕСЛИ |
А и B c G I |
, T O A u B , A 0 B |
« A 4 3 É & - . |
||
Ha |
этих условии вытекает, что'еслж CL- |
алгебра мвожео» |
|||
|
|
|
. Кроме того, |
||
Алгебра множеств Gt. |
называется |
б^-влгвброі, |
|||
если |
|
|
|
|
|
Отметим, |
что в алгебре множеств QL |
|
, не явіялміся |
||
-11
