Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
Далее, принимая во внимание полуаллитпшюсть верхней меры и
лемму 1.5, получаем
Так как, по условию, множества А, и |
измеримы отно |
сительно соответствующих мер, то |
|
Учитывая / Ы / и /1.5/, это можно переписать в виде
JUL* (А) + |
д Ч А Ч ^ и Ы . |
lax как A u А°" = А |
, то имеет такие место противопо |
ложное неравенство, откуда, на основании замечания С.4, § 1,
іаключйем, что множество А |
|
Ц- измеримо. Поскольку |
||||
мера лебега - Стильтьеса Д |
есть сужение верхней меры д |
|||||
на клаос |
и |
измеримых множеств, то /1:6/ вытекает из |
||||
/1.5/. . |
|
|
|
|
|
|
|
Распространение доказательства на случай неограниченных |
|||||
множеств А, |
и |
AJL |
предоставляем читателю. |
|||
|
Е. строение j x t X |
- измеримых множеств^ Пусть уи^- |
||||
- мера лебега - Стильтьеса в Ift^ |
ІЙ J |
и пусть и. = |
||||
— |
У. Цд_4 |
' Ь атом пункте мы исследуеь строение ' ц. - и |
||||
- |
102 . - |
/ |
меримых ішозкеотл А < - — [j^ |
X |
и предотавляем меру |
|
U. в виде некоторого |
uv |
- интегралр; а также в виде |
|
некоторого |
U, - интеграла. |
|
|
.J 0 |
; л о н и е. Пусть |
||
п р е д и |
|
|
|
•и ^° |
& ,,vg.> |
|
|
» ' Рис.2.
MHO:аоства A» |
и |
A V |
называются сечениями множества |
Д, отвечающими, соответственно, значению х„ "первой"
координаты и, значению ^ |
|
"второй" координаты. Обратим |
|||
внимание, |
что п. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
для любых |
ХоЬ^., |
и iLo t l f t ^ |
|
/см.рис. |
X |
/. |
Мюжество |
|
|
|
|
|
называется nejgpji^MO^KHHeli |
множества А |
£ 1Йt |
, а множество |
||
называется его вюрді5^тгоодкЦией. |
|
|
|
||
Очевидно, что •ѵір, А |
есть множество тех я ( І | |
||||
для которых существует такое |
|
|
, что ( х ^ б А. |
||
|
. - |
Юз |
- |
|
|
Аналогично, TV-JJJA |
состоит ив таких ^ е. fîï^ , для ко |
|||||
торых |
существует такоеx f e f i l , |
> что (, * , ^ ) €. А . |
||||
|
2,2.П редложение. Пусть |
Jjl=Jx |
X M, |
|||
а^сті |
А С IQ. |
- произвольное |
|
-измеримое иноже- |
||
іщо4ів^тва^дочек Я 6 |
, А |
^сечение |
А^ |
является |
||
к,- измеримым подмножеством пространства ІѴ? . |
||||||
|
|
|
|
|
|
/2.1/ |
|
|
),А) .нддяедсп |
--jBoîaBBRjf |
|||
|
|
|
_у 1 |
|
|
|
_ejoJ^H^j(HjD3e^TBe |
А . |
|
|
|
||
|
= S / Ч ^ Л ' И х ) • |
|
/2.2/ |
|||
|
|
|
||||
1 Пенсиям символ ^ |
f»»l^») M.,'(GI*) |
Напомним, что д -ин- |
||||
іеграл функции \ |
|
|
мы уоловились обозна- |
|||
по множеству __р |
|
|||||
чать черев S Ç < ^ |
. Однако, в некоторых случаях удобны и |
|||||
другие обоамаченкя. Предположим, |
что нам дано,что функция Ç |
|||||
арвнямаат a »очі» x t î > |
значение ючхі |
, где ur неко |
||||
торая конкретная последовательность действии /например, х І.Щ
ж u r ü O |
=» * Ц |
/• Тогда, вместо ^ ^ / ^ можно |
паса» |
V^UK*">/х(Д*} |
,что позволяет избежать'введения |
опецмального ояиаолв для обозначения подынтегральной функции
/как напрііар а выражении S^* (Atn'V д |
/, очевидно, в ві* |
||||||
ражвни* |
^* |
4 |
* |
11 |
'* |
букву, ж можно заменить любой другой |
|
буквой, |
та/<wo, яаарямар, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
- • 104 ' -
^aoroj^wa^^jioneK |
\^ еллр ^ A |
£еДёШС? |
AU |
.является |
|||
^ция Ц> |
» oijjje^gmieua^c^^Tjiojie^cw |
|
|
||||
|
|
= |
|
( А Ъ ) |
|
|
./а.а/. |
руѳмо^ііа^ішкестве ' Л ^ ^ А |
д_ |
|
|
|
|||
г |
|
г |
|
|
|
|
|
• |
с |
; |
, |
, |
' |
/«.4/ |
|
Доказательство. Для удобства излояения, |
|||||||
доказательство разобьем на несколько этапов. |
|
||||||
оі) Рассмотрим сначала случай, когда |
А |
есть |
|||||
элементарное множество |
в |
R„ |
. Тогда', в силу следствия |
||||
7.и, § 1, |
А |
можно представить в виде |
конечного объединен |
||||
ііип попарно непересекающихся промежутков. Следовательно, возмож но также представление вида
А = [ Д , Х І А и о . . . ^ Л и | ^ и . . .
где іі^ |
• ) • • - , Лк |
- попарно непересекающиеся промежутки |
|
В |
, в |
) Д^і |
- попарно непересе |
кающиеся промежутки в |
Ій^ , - b * t i ^ ; |
,1с .Мы инеем |
|
А..= ;
гЗ^ ^уалл. X 6 ISt, \ ол|)4 А , а поегожу
105
0 "n-jb^- |
* б ІЙ| ^ ^ р , А . |
|
Следовательно, ц> |
есть простая |
ь - интегрируемая |
функция и |
|
|
ц |
|
|
Отсюда, в силу /1Л/
или, в силу аддитивности меры уи. ,
И, в рассматриваемом случае, теорема доказана для сечений А
Для сечений |
доказательство аналогично. |
|
дЛ Рассмотрим |
теперь случай, когда множество' А |
ес |
очетное объединение неубываюцей последовательности множеств *о eotb,
A w , |
c A l t V . - C A ^ c , A = Ü A w , |
||
ИДИ, А |
во» счетное пересечение невоэраотающвН послодова- |
||
тельноети нножеотв Из |
, то есть, |
|
|
црвчвм, Bps иножеотва Л |
и JÖ ' |
таковы, что для них д |
|
8ывібНое утверждение верно. Покажем, |
что, в этом случае, док |
||
-106
ваеыое утверждение верно также для множества А |
« При атом |
||||
мы ограничимся сечениями А |
\ |
для сечений А ^ |
оно дока |
||
зывается аналогично» Кроме того, |
мы ограничимся рассмотрение)! |
||||
случая, когда А ~ П B>W^ |
. так как случай A - ^JA "л |
||||
рассматривается аналогично. |
|
|
|
||
Положим |
ехл =І |
(. Е^і. ) , х е й , ѵ = 4 д , . . . > |
|||
по условию, |
является |
и, - интегрируемой функцией |
|||
на ft, |
,и ул(В |
с ѵ ) Ы ^ |
Ч ѵ |
a^L, V = 1,4,-. /2.5/ |
|
/ Подчеркнем, что последний интеграл беротся фактически по мно
жеству 'ѵчр^Ъ1"1 |
: tue |
этого множества подынтегральная функ |
|
ция равна.нулю /. Однако, так как |
эВи Ъ_ > k , to В"» ^ |
||
для каждого ж & Ич. • |
и, следовательно, |
||
|
|
|
/в.в/ |
Поокольку A < i B W ) |
с, * |
, то, в силу /8»5/, |
|
В силу /2.6/, /2.7/ й теоремы о монотонной сходимости /еіиПів,
§ 3/, |
^ ( - почти всюду на |
ft, |
предел |
|
|
|
||
|
Ч> 0 Сх)^ A ù m Ц>ѵ U ) |
|
|
|
|
|
||
являетоя конечным, а функции |
4>„ |
является • |
и( - Ийігвг*1 |
|||||
рируемой |
на Й,. |
и S R 4 e d / « . - . |
|
^ |
^ - |
f t |
. ^ i ; |
|
Однако, так как f\~ |
О^Ъ^. |
|
|
|
W |
|
|
|
, то |
|
В ' x |
|
|
||||
и в силу замечания 9.7j § І, ч>0 IX) » |
ipj W) |
=» Ц>С*1, |
||||||
где ЧСхѴ ^ / нСА^ |
. , а также ^ ( A ) = Ji*H jü. (В1 |
"'). |
||||||
Подчеркнем, что Дх |
является ' |
|
^'"P"10*' *ИЙ |
|
||||
всех 'х |
, для которых *' ^ |
- измеримы вое множества |
||||||
10?
