Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

î> " X

I и

еоіь,

jj^^- почт» всюду il

[R^

/ напомним,

что счетное пересечение множеств полной

у*.

- меры есть

1

кнокество

полноЛ

^ - меры / и ціункция Ц.

является'

Д., - интегрируемой в

R,

, как

эквилентная функция Цв

а силу /2.7/

и /2.8/ ииеем

что и требовалось доказать.

•jf") покажем теперь,

что для люоого

уи. - измеримого

множества

А

существует

такое

ju. - измеримое множест­

во А'

, что А с. А

, yü. (.АУ= yj. {AT )

и для А

найдется таков нножество

^ А

, являющееся счетным

объединением промежутков ив Ш0

і что

Множества

, а также их конечные пересечения, можно

ности элементарных множеств и, следовательно,

в силу où)

и

^Ь) , для множества

доказываемое

утверждение верно.

ііомгая

^^3»

имеем

. Поэтому,

вожатая

А =^ П ц ^ E>u

, на основании M

заключаем,

Что доказываемое утверждение верно для множества А

Так

как А С Ък

С

, то г \ с К

й, в саду/3.0/,

^ . ( A U

^ ( X U / і Л А Н ^ •

/\,.

•

Следовательно,

Aï =•

i'-Tvi/лДВц) —

/ 0

- ^ ' '

что • требовалось доказать.

•

-

£ ) PaocMoïpMU случай, когда А

ость множество

108

нутокв R' и

/ U = W L U )

, то

/* . ^0>» О,

так, что интеграл

Sjyi-^Л

1

"

есть площадь криволинейной '

традиции X>*f

/.

Доказательство. Заметим, что

для сечений

цилиндрического тела D ' Ç

выполняется соотношение

Следовательно,

Сек)

^

x e D

ѵ

4 .

I О

'Ѵ ТАЛ

X е iß N_D •

Предположим сначала,

что

£

-

простая

д - интегриру­

емая функция,

принимающая постоянное значение і|-ѵ

на

^

- измеримом мнояеетве

, ^ = 1.!,---»•

'

t причем,

J ) = U N Î > V

и множества

Л^ѵ

попарно непереоена-

ются. Тогда

где A ^ i ^ ^ l Ü ^ - D « ^ * ^ , } , ^ ^ ! , . . .

. так

как каждое множество 1>ѵ

X

Д ѵ

является ylx X ^

1

' '

" Я8Мв~

рймыМ, то тоже верно для их очетного объединения

,

Если

Jx

-

интегрируемая На

3

функция

-f

не

является простой,

то, согласно предложений а«а, § а,

существует

последовательность ^іЛч^і

простых

уц. - интегри­

руемых функций

| ѵ

.которая неубывая / равномерно / схо­

дится на "У>

k

-Ç

Мы имеем

î)'f

—

а» следовательно,

мнонество Д) * -f

» как счетное

-

' I I I

'

-