Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf

стке времени от t до t + At. С одной стороны, искомую вероят­ ность можно выразить через вероятность отказа, используя, свойства функции распределения, как

Q (t + A £ ) - Q ( t) .

С другой стороны, ту же величину можно определить как. вероятность произведения двух событий А и В: А — факт без­ отказной работы в течение времени t; В — отказ на участке от t до t + At. Переходя к вероятностям событий А и В, имеем, искомую вероятность в виде

Разделив обе части равенства на At и переходя к пределу,, получим

Левая часть последнего выражения есть производная отвероятности отказа, т. е. частота отказов. Предел в правойчасти есть плотность условной вероятности, вычисленная в точке t, т. е. опасность отказа. Таким образом,

a ( t ) = P ( t ) X ( t ) или 4 0 = - £ $ - •

Последнее выражение объясняет типичный вид кривой X(t)r приведенный на рис. 7. Имеется в виду, что графики частоты: и опасности отказа относятся к одному и тому же устройству.

стоятельство, что для многих технических элементов и- устройств на участке нормальной эксплуатации она имеет по­ стоянную величину. Именно указанная особенность определяет широкое применение этой количественной характеристики.

14

Обе части последнего равенства проинтегрируем в пределах от нуля до t

безотказной работы Т. Это математическое ожидание случай­ ной величины т.

Среднее время безотказной работы может быть выражено через другие количественные характеристики.

Воспользуемся известной в теории вероятностей формулой для вычисления математического ожидания случайной вели­ чины через плотность ее распределения

те

М (х) = J x f{x ) d x .

В нашем случае случайной величиной является время, а плот­ ность распределения обозначена a(t). Имеем

со

15.

Первое слагаемое этого выражения равно нулю: при t = 0

P{t), имеющих место на практике, удаётся раскрыть неопре­ деленность и доказать, что

Iim tP (t) — 0.

О

Окончательно имеем

T = ] P { t ) dt.

о

В графической интерпретации среднее время безотказной ра­ боты пропорционально площа­ ди, ограниченной кривой P(t) и осями координат (рис. 9).

§ 4. Связь между количественными характеристиками и их применение

Как уже указывалось, рассмотренные количественные ха­ рактеристики надежности являются различными формами вы­ ражения закона распределения времени работы до отказа. Естественно, что они связаны между собой: имея одни харак­ теристики, можно вычислить другие. Формулы связи характе­ ристик:

Q ( t ) + P { t ) = \;

a (t) = Q' (t) = - P ' ( t ) -

Однозначная связь характеристик позволяет утверждать, что они содержат одинаковую информацию о надежности. Не­ которое исключение представляет среднее время безотказной работы, характеризующее надежность менее подробно. Так, на рис. 9 приведен пример кривых вероятности безотказной работы двух систем 1 и 2. Системы неодинаковы: первая пред­ почтительнее при малых временах работы. Кривые P{t), а также графики других характеристик, если их построить, от­ ражают различие систем. А вот средние времена безотказной

•16

Однако частота отказов предпочтительнее по следующей при­ чине. Соотношение

Q (t) = a (t) cit

6

позволяет непосредственно по графику частоты, измеряя соот­ ветствующую площадь, найти вероятность отказа за то или иное время. Таким путем легко, например, подсчитать ожидае­ мый процент браковки деталей при тренировке.

§ 5. Определение количественных характеристик надежности опытным путем

Для пояснения смысла количественных характеристик на­ дежности полезно указать порядок проведения и обработки результатов эксперимента по их определению.

Опыт организуется следующим образом. N образцов изде­ лия, характеристики которого требуется определить, вклю­ чают в работу в условиях, близких к существующим на прак­ тике. Для получения точных и достоверных результатов коли­ чество образцов должно быть достаточно велико; эта сторона дела подробнее будет рассмотрена в гл. 5.

По ходу опыта отказавшие образцы не восстанавливают и не заменяют новыми.

Через определенные промежутки времени At фиксируют количество образцов n(t), отказавших к моменту t, а также количество образцов An(t), отказавших за время от t — (At/2) до t + (At/2). Результаты сводят в таблицу, примером кото­ рой является табл. 2 (N = 1000).

Количественные характеристики далее вычисляют по точ­ кам для различных моментов времени, причем используются формулы

Звездочка в обозначениях подчеркивает то обстоятельство, что из-за ограниченности объема эксперимента он дает только оценку, а не точное значение соответствующих вероятностей и плотностей. Лишь при увеличении количества образцов оцен-

18

ки приближаются (сходятся по вероятности) к соответствую­ щим величинам. По той же причине построенные по точкам экспериментальные характеристики не оказываются плавными кривыми. Замена полученной по опытным данным ломаной линии на плавную кривую, отражающую только существенные черты характеристики, назы­ вается в теории вероятностей выравниванием статистиче­ ских рядов. На рис. 11 пока­ заны характеристики, по­ строенные по данным табл. 2 и далее выравненные.

Для опытного определе­ ния среднего времени без­ отказной работы следует провести вычисление по фор­ муле

п

V

словесным описанием приведенных в настоящем параграфе формул.