Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf

§ 6. Законы распределения времени работы до отказа (законы надежности)

В качестве теоретических распределений времени безот­ казной работы могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. Практиче­ ское применение находит небольшое количество законов рас­ пределения.

Экспоненциальный (показательный) закон. Для него спра­ ведлива формула

X (t) = X = const.

Остальные количественные характеристики надежности при экспоненциальном законе определяются следующим образом:

t '

P {t) = exp (— j X (£) dt) = exp (— \t)

и

(отсюда и название — экспоненциальный закон);

Q (t) — 1 — ехр (— U);

a (t) = Q' (t) = Х е х р ( - W);

Т — J Д (t) d t = jexp (—U )d t = ---- ^— exp (— U)

и0

Кривые характеристик для экспоненциального закона по­ казаны на рис. 12.

Экспоненциальный закон часто применяют для характери­ стики надежности элементов и систем по двум причинам. Вопервых, для многих технических устройств на участке времени нормальной эксплуатации опасность отказа действительно по­ стоянна. Во-вторых, при экспоненциальном законе получа­ ются простые расчетные формулы. Поэтому на применение этого закона идут далее при некотором отклонении от него экс­ периментальных характеристик, тем более что последние обычно содержат погрешности из-за недостатка статистиче­ ского материала.

Закон Релея. Здесь опасность отказа определяется форму­ лой K(t) = , где о2 = const.

20

Остальные количественные характеристики:

Q( £ ) = l - e x p ( - - ^ - ) ;

a{t) = QHt) = -L*x p ( — £ ) ;

7 = ] p { t ) d t = ° Y ~ . '

о

Кривые количественных характеристик для этого закона приведены на рис. 13. Поскольку вид кривых определяется

двумя параметрами t и сг, время на графике отложено в мас­ штабе t/a, а кривые опасности и частоты отказов заменены соответственно графиками K(t)o и a(t)a. Тем самым удается подчеркнуть зависимость характеристик от времени, исключив влияние а.

Закон Релея применяется на практике для характеристики надежности электрических и механических элементов, подвер­ женных старению, например электровакуумных приборов.

Закон Вейбулла. Здесь опасность отказа определяется формулой

A(t) = \0k t k~\

где А0 = const, к = const.

1 При вычислении использован табличный интеграл

о

21

Остальные количественные характеристики:

P ( t) = exp ^ — j'x (t) d tj = ex p ( - V й);

Последнее выражение получено следующим образом. Как известно, гамма-функция есть функция вида

00

Г (х) = j е~у y*~ldy (х > 0).

о

Приведем к такому виду выражение для Т. Обозначим

у = \ tk.

После преобразований

T=^r ] e ~’’y t d y

Таким образом,

Кривые вероятности безотказной работы и опасности от­ каза, соответствующие закону Вейбулла, показаны на рис. 14. Они, помимо времени, зависят от параметров Яо и k. Параметр Яо определяет масштаб: при его изменении кривые «растяги­ ваются» или «сжимаются». Параметр k меняет форму кривых. Чтобы исключить влияние Яо, кривые P(t) построены в мас­

тельной величиной ——.

1 Существуют таблицы гамма-функции от различных аргументов [2].

22

В зависимости от величины k закон Вейбулла дает сниже­ ние или увеличение опасности отказов со временем, т. е. может соответствовать элементам со старением или с прира­ боткой. Подбирая к, можно добиться соответствия опытных данных и теоретической кривой.

При к = 1 закон Вейбулла совпадает с экспоненциальным. Закон Вейбулла находит применение для описания надеж­ ности некоторых типов электронных ламп, шарикоподшипни­

ков и других деталей.

Нормальный закон.

Общеизвестна запись плотности распределения случайной величины х при нормальном законе

где т — математическое

•ожидание; о2—дисперсия.

Формула предполагает изменение х от — оо до + оо; время же работы до

•отказа не может быть отрицательным. Поэтому в качестве закона надеж­ ности имеет смысл рас­ сматривать так называе­ мое усеченное нормаль­ ное распределение

Здесь Т\, о2— параметры неусеченного нормального закона

л множитель с подбирается таким образом, чтобы, отбрасы­ вая часть кривой f(t) левее нуля, сохранить для частоты от-

N

казов a(t) условие f a(t)dt = '\. Т{ не является средним вре-

о

менем безотказной работы; это параметр нормального распре­ деления, усечением которого получили кривую частоты отка­ зов (рис. 15).

23

Как известно, при нормальном законе вероятность попа­ дания случайной величины х на участок от а до |3 определя­ ется по формуле

р (* < х < Р) = Ф* ( Ц ^ - ) _ Ф* ( ^ ) ,

где

Ф* ( х ) =

Значения последнего интеграла находят из таблиц. Приведен­ ная формула нам потребуется ниже для определения количе­ ственных характеристик надежности при нормальном (усечен­ ном) законе.

Определим множитель с в формуле частоты отказов. Исходим из условия

со

j a { t ) dt = 1.

о

где

с— -

а/ 2 я

24

но, начиная с некоторого момента времени, резко падает. Нормальный (усеченный) закон наблюдается у изготов­

ленных при устойчивом ходе технологического процесса сраа-

где lo. k — параметры.

Выразим другие количественные характеристики для этого-

Чтобы вычислить интеграл, предварительно рассмотрим выра­ жение вида

J x neaxdx.

Применив к нему правило интегрирования по частям, полу­ чим

25-