Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

пы явлений. Это значит, что при анализе задачи в безраз­ мерных переменных исследуется не единичный случай, а множество различных случаев, объединенных общностью свойств и процессов.

При анализе задачи методом размерностей безразмер­ ные параметры определяются путем преобразования раз­ мерностей, когда все показатели в формуле размерностей для искомой величины обращаются в нуль. Искомая вели­ чина в этом случае имеет нулевую размерность, т. е. яв­ ляется безразмерной. В настоящей главе будут рассмот­ рены основные физические обобщенные переменные, полу­ ченные методом теории подобия.

3-6. Критерии подобия магнитной газодинамики

Критерии подобия, как следует из теории подобия, составляются из величин различной физической природы, заданных граничными и начальными условиями, и харак­ теризуют меру отношения интенсивности двух сил или в общем случае эффектов. Численные значения критериев подобия характеризуют с количественной стороны вклад, вносимый тем или иным эффектом.

Рассмотрим основные критерии подобия, встречаю­ щиеся в магнитной газовой динамике.

где vo —кинематическая вязкость.

Инерционные силы извне вносят в поток возмущения, нарушающие упорядоченную форму движения в соответ­ ствии с заданной геометрией канала. При больших внеш­ них возмущениях течение становится турбулентным.

Возникают пульсации параметров потока (скорости, температуры и т. д.), связанные с движением самого раз­ личного направления конечных масс жидкости (так назы­ ваемых молей). В турбулентном потоке все величины, определяющие состояние движущейся жидкости, пульси­ руют около своих средних значений, заданных, например, постоянством расхода.

Силы внутреннего трения оказывают на течение упоря­ дочивающее действие, стремясь привести его в возможно спокойные ламинарные формы движения. Силы трения

58

чая развития, локализуются и затухают. Наоборот, если

нарный режим теряет устойчивость, движение становится турбулентным. Если Re<ReKP, то любое возмущение лока­ лизуется и исчезает. При Re>Re,;p ламинарный режим теряет устойчивость, движение становится турбулентным.

Критические значения Re определяются из опыта. Для цилиндрической трубы критическое значение критерия

где «о —коэффициент температуропроводности.

Критерий Пекле представляет собой меру отношения интенсивности переноса тепла конвекцией к интенсив­ ности переноса тепла теплопроводностью, или критерий Ре есть мера относительного влияния молярного и молеку­ лярного механизма переноса тепла. Критерий Ре по своей физической сущности очень сходен с критерием Рей­ нольдса. Числители обоих критериев одинаковы, а в зна­ менателях стоят физические константы: у числа Re в зна­ менателе стоит кинематическая вязкость, а у числа Ре — коэффициент температуропроводности. Число Re выра­ жает меру отношения потоков количества движения в процессе молярного (конвективного) и молекулярного (диффузионного) механизмов переноса, в то время как число Ре представляет меру отношения переноса тепла посредством молярного и молекулярного процессов.

Из теории подобия известно, что любая комбинация критериев есть также критерий. Возьмем отношение

состоит только из физических констант, и поэтому сам является физической константой. Для газов число Прандт-

59

ля меньше единицы. Для капельных жидкостей Рг больше единицы и в случае очень вязких жидкостей может прини­ мать очень большие значения. Жидкие металлы чрезвы­ чайно теплопроводны, вследствие чего Рг~ 10_2-У-10-3.

как меры отношения толщины динамического погранич­ ного слоя к толщине теплового слоя. Из теории погранич­

тепловой пограничный слой совпадает с гидродинамиче­ ским.

в жидкости контрольный объем V (рис. 3-4). При сумми­ ровании по объему равные и противоположно направлен­ ные силы, действующие на стороны, общие прилегающим элементам, уничтожаются и остаются только напряжения, действующие на поверхность, ограничивающую заданный объем. Следовательно, результирующая магнитная сила,

действующая на объем V и равная j fxBdV, равна резуль-

г

тирующей всех поверхностных напряжений. Воспользуемся уравнением (1-13) Максвелла для стационарного электро­

60

ФЕ магнитного поля О для выражения пондермотор-

~~дГ

ной силы

F=~j XВ = го Ш Х ц Е

Воспользуемся формулой (0-7) векторного анализа

F = (Hgrad)pH —-у gradpH2.

П роинтегрируем это уравнение по объему

|' FdV = ^ { Н grad) р Н d V ---- j* grad p H adV

Рис. 3-4. К определению числа магнитного давления

и воспользуемся формулой Гаусса —Остроградского

Первый интеграл в правой части выражения S (3-28) пре­ образуется следующим образом:

Таким образом, результирующая объемная сила равна

^ . FdV — (j) pH,, Ff dS----pH2ndS — (j) Т dS,

v s s s

— ->

где T — результирующее поверхностное напряжение.

61

Вектор поверхностного напряжения складывается из двух составляющих: силы давления и напряжения вдоль магнитных линий —натяжения магнитных линий. Направ­ ление каждой силы видно из рис. 3-5. Таким образом, маг­

нитное давление Р,г= л //2 . Кроме силы магнитного дав­

ления на проводник в магнитном поле действуют растяги-

Рпс. 3-5. Вектор повсрхно стпого натяжения

вающие напряжения вдоль магнитных силовых линии рНпН. Если полная магнитная сила равна нулю (например •

/ и В параллельны), то сила давления должна уравнове­ шиваться составляющей натяжения магнитных линий на нормаль.

ixH2

Итак, мы установили, что величина ----- представляет

собой магнитное давление. Магнитное поле будет заметно влиять на течение, если Re„>l . Если R,, <<(1, то влиянием магнитного поля на течение можно пренебречь и имеем обычный случай газодинамического течения. Число маг­ нитного давления тесно связано с другим критерием — критерием Альрена.

Ро«о

62

Ф о J s

Следовательно, критерий Маха является мерой отношения реально возникающих изменений давления к модулю сжа­ тия и определяет порядок величины относительных объем­ ных деформаций.

Существует еще один аспект критерия Маха. Для иде­ ального газа статическое давление определяется как вели­

чина пропорциональная роСо2, где Со2 — средняя квадра­ тичная скорость молекул. Изменения давления в газе в свою очередь выражаются через квадрат скорости течения, умноженный на плотность роСо2. Следовательно, критерий сжимаемости приводится к виду

Так как кинетическая энергия роСо2 представляет в некотором масштабе изменение энтальпии движущегося газа, то критерий Маха представляет собой меру отноше­ ния энергии упорядоченного движения газа к энергии теплового движения молекул.

Отношения скорости течения к скорости распростра­ нения звука широко применяется не только в качестве критерия подобия, когда используются величины, заданные граничными условиями, но и в качестве безразмерной пере­

и сверхзвуковые течения реагируют на внешние воздей­ ствия одного знака диаметрально противоположным обра­ зом. Обратно, для непрерывного перехода из дозвуковой области течения в сверхзвуковую необходимо изменить знак внешнего воздействия. Этот закон, называемый зако­

63

ном обращения воздействий, впервые был сформулирован советским ученым Л. А. Вулисом. Подробнее закон обраще­ ния воздействии будет рассмотрен в гл. 4.

5. Критерий Алъфена характеризует деформацию ма нитных линий при взаимодействии движущихся провод­

ников с магнитным полем.

А1 =

Сн

волны Альфена.

Рассмотрим стационарное движение газа, параллельное магнитному полю (рис. 3-6). Воспользуемся уравнением Эйлера для этого

случая

ди _ - ± ^ + х м,

Рох

р .

где Хи— ——’ а Аз, —проекция магнитной силы F на ось х

Р

(единичная).

В этом уравнении пренебрегаем вязкостными силами. В общем случае из второго уравнения Максвелла

6*