Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

Если движение является установившимся, то — = 6. dt

Для несжимаемой жидкости (p=const) легко получить

•из уравнения (3-5):

Уравнение (3-5) является уравнением неразрывности газового потока в дифференциальной форме. Это уравне­ ние было впервые получено Эйлером в 1959 г. Мы видим, что оно связывает изменения плотности с изменениями составляющих скорости и, v и ад. Имея в виду механиче-

щих скорости относительной линейной деформации жидкой

рывности связывает изменения объема и плотности частицы.

Уравнение (3-5) записано в прямоугольной системе координат. Во многих случаях удобно пользоваться .цилинд­ рической системой, координат.

Положение некоторой точки А в цилиндрических коор­

динатах определяется радиусом-вектором г, полярным углом 0 и аппликатой z (рис. 3-2). Давая указанным координатам

47

бесконечно малые приращения dr, dQ и dz, выделим в Массе жидкости частицу ABCDA'B'C'D' (рис. 3-3).

Движение точки в рассматриваемых координатах задано, если известны составляющие скорости:

радиусу-вектору);

dz

w = ——---- осевая составляющая скорости.

Составим уравнение неразрывности в цилиндрических координатах. Подсчитаем скорость относительной объем­

ной деформации движущейся жидкой частицы, показанной на рис. 3-3. Изменение объема этой частицы за элемент времени dt в направлении радиуса-вектора можно выразить так:

48

(3-2) и выразив полную производную плотности в цилинд­ рических координатах, после преобразований окончательно получим

3-2. Уравнение движения

Выделим в потоке жидкости элементарный параллелепи­ пед. Внутри замкнутой поверхности параллелепипеда заклю­ чена масса жидкости. Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения.

Изменение количества движения массы газа, сосредо­ точенной внутри поверхности, происходит в обгцем случае вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость изменяется во времени. При установившемся дви­

жении количество движения меняется только в связи с изменением положения частиц.

В соответствии с известной теоремой механики измене­ ние количества движения массы, заключенной в выделен­ ном элементе, равно импульсу внешних сил. Составим уравнения импульсов в проекциях на координатные оси

(рис. 3-1).

На грань ABCD в направлении оси х действует сила давления Pdydz, импульс которой будет

Pdydzdt.

Импульс сил давления, действующих на грань A'B'C'D', равен

—— 77 dxj dyd-dt-

Заметим, что, кроме сил давления, на элемент дейст­ вуют массовые силы (гравитационные, магнитные и элек­ тростатические) .

Обозначим через X, Y и Z проекции единичной массо­ вой силы (отнесенной к массе жидкости) па оси коорди­ нат х, у и z. Тогда проекции полной массовой силы на координатные оси будут

Xpdxdydz, Ypdxdydz и Zpdxdydz.

Введем импульс массовых сил в проекции на ось х, равный Xpdxdydzdt. Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения

дР

Xpdxdydzdt— — dxdydzdl = pdxdydzdu,

где pdxdydz —масса элемента. Следовательно,

у и z.

5)

Имея в вид}', что приращения скорости равны:

для проекции ускорения на координатные оси получим из

(3-8, 3-9, 3-10):

ного ускорения движущейся частицы. Уравнения (3-11) показывают, что ускорение жидкого элемента вызывается соответствующими изменениями сил давления, действую­ щих на этот элемент, и массовыми силами. Уравнения (3-11) были также получены Эйлером.

Составим теперь уравнения импульсов в цилиндриче­ ских координатах. С этой целью найдем составляющие ускорения в новой системе координат. Полное ускорение

вдоль радиуса-вектора выражается как сумма относитель- dC2

Полное ускорение в направлении, нормальном к ра­ диусу-вектору, складывается из тангенциального ускорения