Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.08.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
функция Рэлея Ф также равна 0. В этом случае система уравнений (3-27) принимает вид
|
|
|
-77- + |
div рС = 0, |
|
|
|
|
|
ос |
|
|
|
|
Р с1С |
|
grad Р + |
(В grad) — , |
|
|
|
dl |
|
|
|
И- |
(3-36) |
|
|
|
dS |
= |
о, |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
дН |
grad X (С X — |
|
|||
|
|
ot |
|
|||
|
|
Р = |
\ |
Р |
|
|
|
|
|
Я р7\ |
|
||
Неизвестными в этой задаче являются: р, С, Р, S и Н. |
|
|||||
3. |
Случай |
малых чисел |
магнитного давления |
R„. Для |
||
малых величин Rn магнитное поле и газодинамические величины практически не зависят друг от друга. Система
решается для следующих неизвестных: С, Р, |
р и Т. |
||||
-^7- |
+ |
div рС = 0, |
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
P7 T = ~ |
g ra d P + 0 , |
|
(3-37) |
||
di |
дР |
, т |
,. |
а, |
|
р ---- = |
------- р иФ — d1v |
|
|||
dt |
dt |
|
|
|
|
Р = RpT.
Из уравнений Максвелла для этого случая имеет смысл только уравнение
= у х (с х я ) - v x w v х н)\,
dt
где vH—магнитная вязкость.
Оно решается после решения системы (3-37).
70
4. Случай малых чисел Маха (несжимаемая жидкость).
Этот случай можно кратко записать p= po= const. Система уравнений решается относительно С, Р, Т и Н.
div С = О,
р— = — grad Р + Ф 4- / X В , at
|
р |
cli |
div q, |
|
(3-38) |
|
dt |
|
|
||
|
|
rot И |
- j, |
|
|
|
/ = |
cr [£ t |
С X B . |
|
|
В |
системе (3-38) принимается, что так |
как скорость |
мала, |
||
то |
джоулево тепло и |
работа |
магнитной |
силы также |
малы, |
и уравнение энергии принимает вид уравнения теплопро водности для несжимаемой жидкости. Однако надо иметь
в виду, что для больших величин магнитного поля Н эти члены не являются малыми и их следует принимать во внимание в уравнении энергии.
В последующих главах мы будем рассматривать одно мерные и плоские движения ионизированных газов и элек тропроводных жидкостей в магнитном поле, считая, что
е# 2
энергия электрического поля —-— много меньше энергии
магнитного поля. Основными независимыми безразмер ными критериями подобия в магнитной газовой динамике являются:
Re, М, Pr, k = -^~, Рк и Re0.
Со
Магнитная гидродинамика, как было указано выше, являет ся частным случаем магнитной газовой динамики, когда М ~0. Все остальные параметры остаются в силе.
Г л а в а 4
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
4-1. Основные уравнения
Основные уравнения выводятся при следующих допу щениях:
а) движение газа считается установившимся (d/dt = 0); б) течение одномерное, хотя стро го говоря одномерность следует рас сматривать только к средним по се
чению параметрам; в) существует только одно внеш
нее поле — электромагнитное (грави тационным полем (Ггр= 0) пренебре гаем, пренебрегаем также силой вяз кости и теплопроводностью.
Исходными уравнениями являются
уравнения |
неразрывности, |
количества |
движения, сохранения энергии, урав |
||
нение состояния: |
неразрывности |
|
а) |
уравнение |
|
Fpu = const. |
|
|
J _ dF_ , |
1 dp |
+ |
da |
= |
0. |
( 4 1 ) |
, 1 |
|
n |
||||
F dx + |
dx |
и |
dx |
|
|
|
Рис. 4-1. Струйка то ка в магнитном поле
Скорость с имеет составляющую, на правленную вдоль оси х или с (и,0,0);
вектор магнитного поля В направлен
вдоль оси z, т. е. В (0, 0, В ) и вектор электрической напря
женности Е направлен вдоль оси у, т. е. Е { 0, Е, 0) (см. рис. 4-1);
72
6) уравнение импульсов для одномерного течения в электромагнитном поле
“ -7L + - - £ - |
+ * . = о, |
||
ах |
р |
dx |
|
ХУ1—проекция Ры на |
ось |
ж. Пондермоторная сила равна |
|
FM=.~JxB = ° 0 +~cXB\XB,
векторное произведение равно |
|
|
|
||||||
с Х В |
= |
i |
/ |
k |
|
|
|
и 0 = - |
и Bj, |
и |
0 |
0 |
= ( - 1 П |
||||||
|
0 |
0 |
В |
|
|
|
0 В |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а плотность тока / |
выражается как |
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
j = a[E — uB]j. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
/ |
k |
|
~РЛ = а [В — и В] j X В |
|
0; а [Е — мВ]; 0 — аВ[Е — иВ] i, |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
т. е. магнитная сила действует |
в |
направлении |
оси х. Учи- |
||||||
cl |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
тывая, что — |
■— = 0, можно записать |
|
|||||||
ду |
dz |
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
+ а[Е — иВ]В; |
(4-2) |
||||
|
ри ---- = - |
|
dx |
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
в) уравнение энергии |
|
|
|
|
|
||||
PU~dv[i + |
|
|
|
|
“ В^ Е ' |
|
|||
Так как i— cpT, при c„= |
const получаем |
|
|||||||
Со ои dx |
+ |
ри2 dx = |
а [Е — и В\ Е; |
(4-3) |
|||||
г) уравнение состояния. Считая газ совершенным, будем
использовать уравнение |
Клапейрона p — pRT или в диффе |
||||||
ренциальной форме |
|
|
|
|
|
||
t |
dp |
1 |
dp |
1 |
dT |
(4-4) |
|
р |
dx |
р |
dx |
Т |
dx |
||
|
|||||||
73
В уравнении энергии (4-3) заменим теплоемкость с„ через газовую постоянную и показатель адиабаты. Изве стно, что
сР |
|
си—i?, |
|
или |
|
tC |
|
____ |
Т~) |
- • |
|
Ср — |
R |
|
|
|
|
к —1 |
|
С учетом последнего выражения уравнение (4^3) прини мает вид
ри |
R |
+ риа ——— а[Е — иВ\ Е. |
(4-5) |
к — 1 |
dx |
dx |
|
Подставляя — из уравнения (4-4), находим
Тdx
|
ри |
RT |
1 |
dp |
{ |
I d |
/ |
7 . |
1 |
du |
|
|
|
|
|
' |
! |
“Г |
z |
; |
Т |
и |
dx |
|
|
|
|||
|
к — I |
|
р |
dx |
|
F |
dx |
|
|
|
||||
|
|
+ pиг |
= ст (E — и В) E. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения движения (4-2) |
выразим |
|
и |
подставим в |
||||||||||
последнее выражение. Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
к- D l l ----Р !LJ!lL + J - a(E — UB ) B +- |
dF |
|
|||||||||||
|
dx |
|
||||||||||||
|
к — 1 |
|
р |
dx |
|
р |
|
|
|
|
F |
|
||
|
I |
1 |
du |
|
|
du |
= a[E - |
и B\ E- |
|
|
|
|||
|
i |
и |
dx |
+ ри* — |
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
, . |
к |
|
\ du |
|
к |
|
1 |
|
dF |
|
||
|
----------pu2 |
-|--------- p |
----- = -----------pU—----------- |
|
||||||||||
|
к —1 |
|
|
к —1 |
j dx |
|
к — 1 |
F |
|
dx |
|
|||
|
|
|
■a (E — и В) |
|
■uB — E ) . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
к — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и2 |
. Л du |
|
|
к |
|
J _ dF_ _ |
|
||||
|
к — 1 |
|
k R T + |
) ~dx |
|
|
к —■1 |
|
F |
dx |
|
|||
|
|
— a(E — uB) |
^ |
u B — E^. |
|
|
|
|
||||||
— |
; -----!---- [JL i L |
+ |
a(* ~ |
(E — uB) l |
u |
B |
— E |
|
||||||
dx |
уИа — 1 |
[ F dx |
|
p к |
|
|
|
Vк — 1 |
|
|
||||
|
= — 1— Гл J L + ^ |
|
( * - - a) (a - |
к - |
\ E_ |
(4-6) |
||||||||
dx |
|
к В |
||||||||||||
Мг — 1 |_ F dx |
|
p \ В |
|
J \ |
|
|
||||||||
74
