Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

нейтральных молекул (атомов) находим через статическое давление и температуру газа

Используя численные значения заряда электрона, его мас­ сы и постоянной Больцмана, получаем следующее выраже­ ние для параметра Холла:

Из уравнения (2-16) видно, что наибольшее влияние на р оказывает статическое давление Р и магнитная индукция В.

В случае, когда плазма содержит смесь рабочего веще­ ства и ионизирующие добавки, параметр Холла будем находить из уравнения

1

где индексы 0 и s относятся к молекулам рабочего газа и ионизирующих присадок.

При больших значениях параметра Холла р„>10 необ­ ходимо учитывать вклад ионной проводимости, вносимой в электропроводность газа. Уравнение для результирующей проводимости будет иметь вид

Плотность тока в направлении оси у будет равна

Подвижность ионов ц,- (существенно меньше подвижности электронов щ, т. е. щ/щ J> 1 и ( ) 2 1. Тогда прибли­ женное выражение для проводимости сг„ имеет вид

(2-18)

1+ Й

40

Г л а в а 3

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ

Проводящие газы (плазма) представляет собой смесь положительно и отрицательно заряженных частиц и нейт­

ральных атомов (молекул). В макроскопической теории плазмы для каждой t-ой компоненты необходимо знать температуру 7\, давление Pi, плотность р( и скорость Ci,

а также напряженности Е и Н. Если рассматривать плазму как смесь п компонент, то для определения параметров плазмы необходимо иметь (бтг+ б) уравнений. Этими соот­ ношениями являются уравнения сохранения: б уравнений неразрывности, выражающие закон сохранения массы каж­ дой компоненты, уравнения движения, уравнения энергии и состояния для каждой компоненты.

Газодинамические уравнения дополняются шестью урав­ нениями Максвелла, описывающими электромагнитное по­ ле. Следовательно, -система уравнений, описывающая дви­ жение плазмы в электромагнитном поле, является очень сложной. Даже в простейшем случае плазмы без присадок и, когда ионной проводимостью можно пренебречь ( п = 2), полная система состоит из 18 уравнений. Анализ такой системы, а тем более точные решения чрезвычайно трудо­ емки.

В магнитной газодинамике плазму рассматривают как единый газ неизменного фиксированного состава. Тогда вместо анализа смеси различных компонент можно рас­ сматривать газодинамические уравнения для суммарных величин .совместно с уравнениями электромагнитного поля. Связь между суммарными и парциальными величинами определяется следующим образом.

42

1. Плотность плазмы р. Определяется как сумма плотно­ стей отдельных компонент

р= 2 рс

2.Давление Р представляет собой сумму всех парциаль­ ных давлений Р,- компонент плазмы, т. е.

Р= 2 Р<-

3.Температура определяется как

T = i £ v , r „

где V,- и v — число частиц Той компоненты и сумма частиц

вединице объема.

4.Скорость течения для плазмы в целом определяют осреднением уравнения сохранения массы для всех компо­ нент, т. е.

С— 1 £ р , г ,

5.Плотность электрического заряда в соответствии с уравнением (1-22) определяется как

6. Плотность электрического тока j находится по урав­ нению (1-23)

2 9/С,

/

Система основных уравнений магнитной газовой дина­ мики для суммарных величин, характеризующих плазму в целом, будет состоять из следующих уравнений, рассмот­ ренных ниже.

3-1. Уравнение неразрывности

Выделим в движущейся плазме элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 3-1) и запишем условие

.43

неизменяемости массы во времени для этого элемента. Это условие будет выражать закон сохранения массы; оно может быть представлено в таком виде:

где Д V — объем элемента;

р —средняя плотность элемента.

Дифференцируем, имея в виду, что р и Д У —перемен­ ные величины:

Разделим это уравнение на рД V. Получим уравнение неразрывности в виде:

dt

объема или, следовательно, .скорость объемной деформации

рость относительной объемной деформации.

В частном случае несжимаемой жидкости, когда p=const, последнее уравнение принимает весьма простую форму:

выражающую условие постоянства объема элемента: ско­ рость объемной деформации элемента равна нулю. Отсюда следует, что частица несжимаемой жидкости деформируется в процессе движения так, что объем ее сохраняется неизменным.

Определим величину скорости относительной объемной деформации частицы, выразив ее через соответствующие проекции скорости и, v и до.

Подсчитаем линейную деформацию частицы в направ­ лении оси я: (рис. 3-1). Эта деформация будет происходить в связи с тем, что скорости граней ABCD и A'B'C'D' неоди­ наковы. Если скорость левой грани равна и, то скорость

правой будет и+ ——dx.

44

Предположим, что в пределах каждой из рассматривае­ мых граней параллелепипеда скорости постоянны. За эле­ мент времени левая грань ABCD переместится на расстоя­ ние udt вправо. За тот же отрезок времени грань A'B'C'D'

Рис. 3-1. К выводу уравнений Эйлера в декартовых координатах

переместится в том же направлении «а расстояние

(и-1----dx)dt. Следовательно, объем элемента изменится,

дх

Рассуждая аналогично, для других двух пар граней мож­ но получить приращения объема частицы по осям у и z в (следующем виде:

dx dy dz dt:

ду

dz dx-dy dz dt.

45

Полное изменение объема частицы определяется как сумма этих приращений.

Следовательно, скорость относительной объемной дефор­

так как объем элемента Д У — dxdydz.

Подставив (3-3) в уравнение неразрывности (3-2),

«ический смысл. Из предыдущих рассуждений очевидно, что эти производные определяют величины скоростей отно­ сительных линейных деформаций граней параллелепипеда. Рассмотрим, например, линейную деформацию грани DCC'D'

ди

относительного удлинения — .

дх

Преобразуем теперь уравнение (3-4). Так как р= р(л:, у , z) , то полная производная плотности равна

dp _ dp dx , dp dtj , dp dz

46