Файл: Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие].pdf

Разделим на амплитуду Л и приведем подобные члены:

( c o q — ш2) cos (ш t—1>) -f- 2 [3idcos

cos Ю1.

Обозначим

Тогда получим:

Ax cos (w t — ф) + Ла cos W/--0 4- — ] = A acos wt. 2 /

Правую часть можно рассматривать как уравнение некоторого гармонического колебания, получившегося от

сложения двух гармонических колебании, определяемых членами левой части этого равенства. Для сложения ко­ лебаний воспользуемся методом векторных диаграмм.

Проведем ось ОХ и отложим под углами, соответст­ вую] 'ими начальным фазам всех трех колебании, векто­

ры Ль А2 , Лз их амплитуд таким образом, чтобы

А3 = А 1+ А 2 (рис. 11). Так как Лз= А ] -\-Al, то, подставив вместо Ль Ло и Л3 их значения, получим:

Й

-XL = (У)2 _ ш!)а 4 - 4 132 ш3.

Из этого равенства находим значение амплитуды вынуж­ денных колебании:

30

Приведенная векторная диаграмма позволяет определить сдвиг фаз между смещением и выпуждающеп си-

лой:

Рис. 11

К полученным результатам можно прийти, пользуясь тригономет­ рическими преобразованиями. Покажем это.

Возьмем первую и вторую производные по времени от смещения

х — — А шsin (ш / —ф),

Л' = — А С)2 cos (ш / — ф) .

Подставим их в дифференциальное уравнение (35):

—А ш2 cos (ш t—Ф) -- 2 р А (о sin (ш t — ф) + «о A cos (w t — Ф) = /„ cos w t,

или

A cos (w Ф) (id2 — со2)—2 $ A I D sin (u)t— ф) = /0 COS I D l.

Раскроем c o s ( « / — ф) н sin (w l — ф). Получим:

31

А(со2 — со2) (cos со t COS Ф+ sin CDt sin 6)

—2 P w A (sin У) t COS cb—COS CD l Sin Ф) =/0 COS CDt.

Приведем подобные члены:

[Л (со’ — со2) cos Ф+ 2 рсо A sin •!»] cos cdt 4-

-|- [ А (со2 — со2) sin •!>— 2 3uj A COS Ф] sin со t = /0 cos СОt ■

Чтобы выполнялось ото равенство, необходимо равенство коэф­ фициентов при cos ы I и Sinai/ справа и слева. Следовательно,

Последнее равенство дает значение начальной фазы ф:

2 3 со tg V= (О2—со2

Возведем в квадрат п сложим равенства (39), (40). Получим:

А2(«об - со2)2 + 4 З2 со2 Л2 = f l ,

откуда находим значение амплитуды вынужденных колебании:

1/(со2 - СО2)2 + 4 З2 CJ)2 ■

Выражения (37) и (38) дают значения амплитуды п начальной фазы вынужденных колебании. Из них следу­ ет, что амплитуда и начальная фаза вынужденных коле­ баний зависят от соотношения между частотами си и сиоКолебание происходит не в фазе с силой: наибольше­ го смещения колеблющаяся точка достигает не в тот

момент, когда сила наибольшая. Если сопротивление сре­ ды равно нулю (Р= 0), то в этом случае колебания и сила имеют одинаковые фазы, во всех прочих случаях фаза б ^ О .

32

П если внешнее воздействие пе изменяет свойств ко­ лебательной системы, в которой возникает резонанс;

2)еслн амплитуда, частота н фаза вынуждающей си­ лы не зависят от состоянии колебательной системы.

Выполнение этих условий необходимо для того, чтобы задаче о резонансе можно было рассматривать как за­ дачу о вынужденных колебаниях в данной колебательной системе. В противном случае эго была бы задача о вза­ имодействии этой колебательной системы п системы, со­ знающей внешнее воздействие.

Резонансная амплитуда достигает значения

когда частота вынуждающей силы ы равна частоте соб­ ственных колебаний i»o. В этом случае амплитуда вы­ нужденных колебаний становится бесконечно большой.

При отличном от нуля значении |3 амплитуда никогда пе достигает бесконечности и максимум ее получается при значениях шро.„ меньших е>0. Чем меньше коэффи­ циент затухания р, тем более остро выражен максимум амплитуды. Практически коэффициент затухания 3 =-0 , и бесконечно больших амплитуд при резонансе не наблю­ дается.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от относительной частоты вынуждающей силы при разных р показана на рис. 12.

Фаза вынужденных колебании при резонансе опреде­ ляется следующим соотношением:

34

Из формулы (37) следует, что сдвиг фаз изменяется с частотой так, как показано на рис. 13. Для низких ча­ стот (»>->-0) колебания смешения происходят в фазе с сплои (б—>-0). При резонансе (ю = о»о) колебания смеще­ ния отстают по фазе от силы на 90°. При очень высоких частотах (н> -> оо) колебания смешения и сила находятся в противофазе (б - -

Происхождение резонансного усиления колебаний можно уяснить себе, обратив внимание на соотношение между фазами вынуждающей силы FBЫ1, и скорости v. При о ^ между ними существует определенный сдвиг фаз. Поэтому в течение некоторой доли каждого периода сила Fnыи направлена противоположно скорости. При резонансе же фазы силы и скорости совпадают, так что

сила действует в направлении движения, постоянно « подтал кивая» тело.

Количественной характеристикой резонансных свойств колебательной системы является добротность. Она пока­ зывает, во сколько раз амплитуда установившихся вы­ нужденных колебаний при резонансе превышает ампли­

35

туду вынужденных колебании вдали от резонанса, то есть в топ области частот, где амплитуда вынужденных колебаний не зависит от частоты:

д = d p , где Л0 ^0

Рис. 13

Добротность является мерой «ширины» резонанса. Она пропорциональна отношению полного запаса энер­ гии Ек колебаний при резонансе к потерям энергии за период Еп\

Q = 2 ~ Е .

Еп

Чем выше добротность колебательной системы, тем мед­ леннее в ней затухают колебания, тем острее резонанс­ ная кривая. Высокая добротность системы приводит к уменьшению времени установления стационарного режи­ ма вынужденных колебаний,

36

Явление резонанса играет огромную роль в радиотех­ нике и радиолокации. Это и настройка радиоприемников на прием топ пли иной радиостанции, и выделение нуж­ ного сигнала, отраженного от цели, от различного рода помех (для чего используются так называемые согласо­ ванные фильтры). С явлением резонанса необходимо считаться при конструировании машин, самолетов. Соб­ ственная их частота не должна совпадать с частотой воз­ можных внешних воздействий.

§9. ПОНЯТИЕ О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ

Возбудить колебания можно не только в результате дей­ ствия внешней силы, но и периодическим изменением одного из параметров колебательной системы.

Увеличение амплитуды колебаний системы вследст­ вие изменения какого-либо параметра системы называ­ ется параметрическим резонансом. Параметрические ко­ лебания наступают в случаях, когда отношения частот собственных колебаний к частоте колебаний одного из

Классический пример возбуждения параметрических колебаний — опыт Мельде. Один из концов натянутой струны кренится к камертону (рис. 14). При колебани­ ях камертона периодически изменяется напряжение стру-

шп I

ны, п при — ^ — струпа начнет резонировать на колеоа-

нпя камертона, то есть начинает совершать поперечные колебания.

37