ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.08.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
Огибающая результирующего колебания есть медлен но изменяющаяся амплитуда
2 Л, cos |
I . |
Определим частоту биении.
Так как период абсолютного значения косинуса ра вен л, то период Тб изменения абсолютного значения амплитуды будет тем промежутком времени, за которым аргумент косинуса изменится на л, то есть
Ш2 — Ш1 'Г |
_ |
||
~ |
Г |
■ |
|
Отсюда |
|
|
|
т - |
2тс |
|
|
1 |
б — |
СОg ~ |
COj |
|
|
||
Период связан с частотой известной формулой 7ф = 2л
=----. Значит, w6
« 6 = ш, — CUJ , |
(47) |
45
то есть частота биении равна разности частот складывае мых колебании.
Биения используют для настройки музыкальных ин струментов. В тот момент, когда биения исчезают (нуле вые биения), колебания струны и эталона (камертона) совпадают.
Усиление слабых сигналов высокой частоты (на пример, в радиолокаторах, где / = 3- 10° Гц) иногда про изводить с помощью обычных радиоламп невозможно. Чтобы устранить эту трудность, в приемник вводят гете
родин — генератор |
высокой частоты, величина которой |
||
i f |
может меня ться. |
Принимаемые приемником колебания |
|
/),,, |
складываются |
с колебаниями гетеродина так, что |
|
частота получившихся биении /0 — f |
| постоянна. |
||
В результате последующие каскады усиления работают на постоянной частоте, то есть нс требуют настройки.
При сложении колебаний с неравными частотами может оказаться, что частоты всех складываемых коле баний кратны частоте наиболее медленного из них. Оче видно, более высокие частоты будут укладываться целое число раз в периоде наиболее медленного колебания. В сумме получается повое колебание того же периода, что п медленное, по форма его будет не синусоидальной, а более сложной.
На рис. 20 изображено результирующее колебание, слагающие которого имеют частоты иц : Ы2= 1: 2.
X
Рис. 20
46
Еще более сложным будет вид колебании, получив шихся при сложении трех и более колебаний. Итак, ко лебание, являющееся результатом сложения колебаний с кратными частотами, есть периодическая функция, пе риод которой равен периоду самого низкочастотного из слагаемых колебаний.
§ II. ПОНЯТИЕ О СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Результатом сложения гармонических колебаний явля ются сложные колебания, периодические и апериодиче ские. На практике часто приходится решать обратную задачу: по данному сложному колебанию определить, из каких гармонических колебаний оно состоит. Если сложное колебание — периодическое, то его можно пред ставить как сумму гармонических колебаний, то есть в виде ряда (ряда Фурье):
00 |
Акcos (к Wt + 9 К) . |
|
/(/) = Л0-|- 'V |
(48) |
|
ХяЛ |
I |
|
К - |
|
Каждое из этих колебаний является гармоническим, частоты их кратны основной частоте <г>. Колебание с ча стотой in называется первой гармоникой, с частотой 2ю— второй гармоникой (к —2) п т. д. Амплитуды Чк и фазы подбираются таким образом, чтобы имело место ра
венство (48).
Ряд Фурье дает разложение периодической функции на тригонометрические. Это разложение может быть обобщено и на случай непериодической функции, так как непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции при неогра ниченном возрастании периода (Г-»-оо). Число колебаний, входящих в сумму, бесконечно велико, н их амплитуды непрерывно распределены по определенному закону в функции от частоты.
47
Непериодические колебания выражаются уже пс суммой, а интегралом Фурье. Такое разложение сложно го колебания на простые носит название спектрального
анализа.
Итак, непериодические колебательные процессы мо
гут |
быть |
представлены непрерывным спектром, тогда |
как |
периодические выражаются линейчатым спектром. |
|
.Метод |
Фурье стал классическим приемом решения |
|
разного рода волновых уравнений. Однако долгое время разложение Фурье пс связывалось непосредственно с ка кими-либо физическими представлениями. Но начиная с 20-х годов, в связи с. бурным развитием радиотехники, акустики, колебательной механики, спектральные пред ставления распространились необычайно широко. Была установлена прямая связь между спектральным разло жением п поведением реальных колебательных систем.
Практическое применение спектральных представле ний неизбежно приводит к необходимости эксперимен тального осуществления разложения Фурье, то есть к гармоническому анализу различных явлений. Существу ет много методов анализа п приборов-анализаторов, при меняющих эти методы.
Ниже рассмотрим спектральные представления на ряде простых конкретных примеров.
Мы видели, что при сложении двух гармонических колебаний ('лд и х2), совершающихся вдоль одной и той же гнямой п имеющих одинаковую частоту, результиру ющее колебание является также гармоническим колеба тельным движением. При сложении таких же колебаний, но с разными частотами суммарное колебание имеет более сложный характер. Например, пусть имеются два гармонических колебания:
X i= Ay cos ( ш х t (f ) ,
хг— y4,cos (w21-|- o),
для которых выполняются такие равенства:
0)1 = 4,5ш2, Л2 = 2,5 Л ,.
48
Результат сложения приведен на рис. 21. Спектр сложного колебания .v= .Vi+ a'2 можно представить гра фически (рнс. 22). При этом па осп абсцисс откладывает ся частота, а па осп ординат — амплитуда. Спектр пе риодического колебания, изображенного на рнс. 23,а, более сложен и представлен па рис. 23,6. Данное слож ное колебание можно разложить в следующий ряд Фурье:
А'—10 A sin v>t — 1,5 /1 sin 3 « t + 0,6 A sin 5 «/ —
— 0,3 A sin 7 (u I .
Рис. 21
Изображение сложных колебании с помощью такого рода спектров неполно в том смысле, что оно дает лишь частоты п амплитуды составляющих колебаний, но не дает их начальной фазы. Однако для многих случаев знания частоты и амплитуды вполне достаточно.
Для непериодического колебательного движения рас сматриваемый метод несколько усложняется. В качестве
4. Зак. 1077 |
49 |
примера рассмотрим затухающее колебание (рис. 24,и). Спектр такого колебания определяется интегралом Фурье и показан на рис. 24,6.
Рис. 22
В теории колебаний доказывается, чго произведение длительности сигнала т на ширину его спектра Лы есть величина постоянная:
т Д и. ;. ■2 к . |
(49) |
Это значит, что, чем короче но длительности сигнал, тем большую ширину занимает его частотный спектр, и, и£|-
50
оборот, чем уже частотный спектр сигнала (говорят, из лечению более моиохроматпчпо), тем больше его дли тельность, го есть большая монохроматичность требует большей длительности.
|
Рис. 24 |
|
Практический |
интерес представляет не |
абсолютная, |
а относительная ширина спектрального интервала: |
||
|
A w |
|
|
U) |
|
В радиотехнике |
она составляет примерно |
10~7—10~5, в |
оптике 10-5—К)- '1. В отдельных случаях (излучение кван товых генераторов-лазеров, а также у-пзлученпе атом ных ядер в специальных условиях — так называемый эффект Мссебауэра) ширина спектральных линии умень шается па 7—9 порядков.
§ 12. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний имеет место при колебаниях электронного луча в осциллографе,
51
при наложении лучен поляризованного света п в ряде других случаев.
1. Рассмотрим сложение двух взаимно перпендику лярных колебаний одинаковой частоты:
\ х = cos (ю/ -|- f , ) , 1 y = Ao cos (to i -|- ®2) .
Для определения вида траектории необходимо из обо их уравнений исключить время I. Представим их в виде
X
— = COS 4)1 cos СЕ! —Sin rnt sin ©, ,
At
— = COS w t COS f a — sin Шt sin <p2.
Сначала умножим |
первое уравнение на cos f.r |
а вто |
|
рое на cos |
и» возьмем их разность, а затем проделаем |
||
туже операцию, но первое уравнение умножим на |
sin f 2, |
||
а второе |
наsinf t.Получим: |
|
|
х |
t/ |
. |
|
--- COS ср2 — — |
COS ®1 = SliU'» / Sin (©и —f,), |
|
|
Ai |
Аг |
|
|
— sin ®2 — — |
sin= cos oj ^ sin (f2 — <?t) . |
|
|
ЛЛ
Полученные уравнения возведем в квадрат п сложим:
, |
У2 |
2 ху COS (®г fi)—sin2(f,—fi). |
(50) |
А'\ |
Ai |
Aj^A.j |
|
Уравнение (50) представляет собой уравнение эллип са, характеристика которого определяется значением раз ности фаз f a—<pj.
52
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Пусть начальные фазы колебании одинаковы
с? 1 = ?г(?а ? 1 = 0). ■ |
вненпе |
(50) i |
|
У~ |
2 х у |
л ( |
Al |
О, |
Aj.А2 |
||
|
X |
у \- |
|
>1: |
|
ИЛ II
= |
у |
At |
(51) |
— , т. е. |
л'= -у- у . |
||
А1 |
А |
А., |
|
13 этом случае траектория представляет собой прямую, проходящую через начало координат, тангенс угла на клона которой равен:
tgtp =
Аа ' |
|
Точка будет совершать колебания |
вдоль прямой |
(рис. 25,о) с амплитудой |
|
Л - \ГЖ+~А\ • |
(52) |
б) Пусть 'f2 —"fj = ". 13 этом случае уравнение (50) будет иметь вид
.V- |
1 х у |
0. |
|
|
"аТа !
£о
= 0,
А,
или |
(53) |
53
Точка |
совершает |
колебания |
по прямой, расположен поп |
||
во 2-ii |
и -1-й четвертях (рис. 25,6). |
||||
В) |
П У С Т Ь |
— |
'fj |
—. |
Уравнение траектории име |
ет вид |
|
|
|
|
|
то есть представляет собой уравнение эллипса, при,веден ного к осям А' п У, с полуосями .4| п .4о (рис. 25,в). При
Р и с . 2 5
этом точка движется по часовой стрелке. Это можно по казать, если записать уравнения складываемых колеба ний в следующем виде:
Л' = Л, cos (id / -f- <f),
y ^ A t cos ^ |
= —/42sin(u>/4-<p). |
54