Файл: Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие].pdf

При обычном возбуждении струны резонанс наступа­ ет при m = wo. В этом отношении параметрические коле­ бания сходны с резонансом при обычном возбуждении колебаний. Поэтому параметрическое возбуждение коле­ бании часто называют параметрическим резонансом.

Другим примером параметрического колебания мо­ жет служить раскачивание качелей, когда периодически изменяются длина и момент инерции маятника.

Параметрический резонанс может происходить и в электрических системах. В колебательном контуре при периодическом изменении емкости пли индуктивности возникают параметрические колебания. Они были изуче­ ны Мандельштамом и Папалекси, которые предложили использовать этот принцип для создания генераторов пе­ ременного тока — параметрических генераторов.

В нелинейных системах периодическое изменение па­ раметра приводит к возникновению автопараметрпческнх колебаний. Это явление изучалось главным образом в ламповых генераторах с обратной связью, немного не доведенной до границы возникновения автоколебаний. Явление автопараметрнчеекого резонанса нашло практи­ ческое применение в качестве одного из методов деления частоты.

38

§ 10. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИИ, ПРОИСГ'.ОДлЕ.’.ЧХ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ

Часто тело участвует одновременно в двух пли несколь­ ких колебаниях. Например, различные звуковые волны, одновременно воспринимаемые нашим ухом, заставляю!’ барабанную перепонку принимать участие сразу в не­ скольких гармонических колебаниях. Электромагнитные волны, приходящие одновременно от ряда радиостанции, возбуждают в приемном контуре электрические колеба­ ния различных частот.

В качестве примера сложных колебаний, возникаю­ щих в электрических цепях, можно привести следующие'.

Рис. 15

Сложное колебание имеет различный вид в зависимо­ сти от соотношения частот складываемых колебаний и разности их фаз. Выделим два случая сложения: 1) сла­ гаемые колебания имеют одинаковую частоту; 2) слагае­ мые колебания имеют различную частоту.

39

/. Сложение колебаний с одинаковыми частотами

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковым периодом, но различными фазами и амплитудами:

Результирующее смещение точки равно алгебраиче­ ской сумме обоих смещений:

Х — Х 1 -f- Л'а ■

Для сложения колебании воспользуемся методом вектор­ ной диаграммы. Отложим вектор амплитуды /1| под уг­

лом ерь вектор амплитуды А2 под углом ср2 (рис. 16). Амплитуда результирующего колебания есть векторная сумма складываемых амплитуд:

Так как угловые скорости ы вращения обоих векторов одинаковы, то угол ф2— со временем меняться нс бу­ дет. Параллелограмм и его диагональ будут вращаться с той же угловой скоростью to. Следовательно, величина

лу как проекция вектора А, будет меняться со временем по закону

X—A cos to t,

то есть будет представлять собой гармоническое колеба­ ние той же частоты.

40

Определим начальную фазу результирующего коле­ бания ©„. Из рис. 16 следует:

А

А = Y А] + Л?-ф2 А1А2 —А1 + А2.

Если разность фаз ®, равна нечетному числу л, то есть ©2— ©! = (2/с+ 1)л, то результирующая амплиту­ да минимальна (рис. 17,6):

А ■—у -\- А2—2Л1Л2 = |ЛХ— Л2| .

41

Таким образом, при сложении одинаково направлен­ ных гармонических колебании одного периода результи­ рующее колебание есть также гармоническое того же пе­ риода. Амплитуда сложного колебания зависит от раз­ ности фаз складываемых колебаний и изменяется в пре­ делах

I — Л-21 Л < Ах -|- Аг .

Рис. 17

2. Сложение колебании, имеющих разные частоты

Если складываемые колебания имеют различные ча­ стоты, то результирующее колебание не будет гармони­ ческим. Графически оно изображается сложной кривой, имеющей в некоторых отдельных случаях периодичность. В общем же случае — это апериодическая кривая.

Наибольший интерес представляет случай сложения колебаний, когда им и и>2 мало отличаются друг от друга.

Для нахождения результирующего колебания в каче­ стве начального момента времени выберем такой, при котором начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда

х, = Аг cos <»! /,

хг = А., cos ша t.

42

Представим эти колебания в момент времени i на вектор[iui'i диаграмме (рис. 18). Из рисунка видно, что

А~ ~ А\ -{- А2 ■')" 2 Л, Л2 cos (wo — i.

Для упрощения решения задачи положим, что ампли­ туды складываемых колебании равны. Тогда

Ai — 2 А] \1+ cos (юг — tDj) 11= 4 A* cos2 U2 1111I ,

откуда

43

Отсюда следует, что

Ш1+ "h

2

Это означает, что вектор результирующей амплитуды вращается с угловой скоростью, равной полусумме уг­ ловых частот складываемых колебании.

Результирующее движение получим, взяв проекцию вектора результирующей амплитуды на ось ,v:

Так как (оо^сщ, то величина со?—о>| мала по сравне­ нию с величиной (■)1+ (,)2. Поэтому результирующее коле­

торого медленно изменяется со временем.

Такое периодическое изменение амплитуды результи­ рующего колебания носит название биений. Графически результирующее колебание представлено на рис. 19.

44