Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

испытания,

а О — невозможный

исход; тогда

mN{E)

=

N и

mN(O)

= 0,

поэтому

pN{E)^\,

pN{0) =

Q.

Теперь предположим, что А

и В — два несовместных

исхо­

да испытаний. Исходом некоторых из N испытаний будет со­

бытие А +

В

(А или В).

Так

как А

и В

совместно

произойти

не могут, то

mN (А + В) =

mN

{А) + mN

(В),

откуда

будет

следовать

равенство

pN(A

+ B) =

pN(A)

+

pN{B).

Последнее,

очевидно,

распространяется

на

любое

конечное

число попарно несовместных слагаемых: если А\

А „ та­

ковы, что AtAj

=0

j), то

§

4.

Понятие поля

вероятностей

Полем вероятностей

назовем

любую

о-алгебру

событий

А = { Д

В,...},

на

которой

задана

числовая

функция

Р(Л),

удовлетворяющая

следующим

аксиомам:

I . 0 < Р ( Л ) < 1

для

любого

А6А.

I I .

Р ( £ ) = 1 ,

Р(О) =

0, где

Е и

О — соответственно до­

стоверное и невозможное события.

I I I . Каково бы

ни

было конечное

или

счетное множество

попарно несовместных

событий Ak£A

(k =

1, 2,...),

Р ( 2 А О = 2 Р ( Л ) -

а)

рованным символом (А,

Р).

Аксиомы

I , I I , I I I , очевидно,

«индуцированы»

соответствующими

свойствами

частот

(см.

§ 3). Заметим, что соотношение

pN

ft

к

дг (Добыло

установлено лишь

для

конечного

числа

попарно несов­

местных

событий,

тогда

как

аксиома

III — так

называемая

аксиома

аддитивности.—

требует

выполнения

равенства

(1)

и для счетных

множеств

попарно

несовместных событий.

Правая

часть

(1)

означает

в

этом

случае

сумму

ряда

P ( A i ) +

Р ( Л 2 ) + . . .

. В

следующем

абзаце

устанавливается

pN(A)^P(A).

(2)

Сказанное не является точным определением. Приближенное равен­

ство

(2) не

определяет функцию Р(А)

однозначно. Кроме

того, если

мы

имеем два поля вероятностей

( A l t Pj)

и (An, Р2 ),

причем

первое описы­

вает

данный

статистический эксперимент, A i C l A o

и Р 2 ( Л ) = Р|(А)

при

А £ А], то и

(А2 , Р3 ) описывает

этот статистический

эксперимент.

§ 5. Некоторые свойства функции Р(Л)

Пусть

(А,

Р) — какое-либо

поле

вероятностей.

Если

А£А,

то

Л € А

и

А + А =

Е,

АА —

О,

поэтому

согласно аксиомам

I I и I I I

Р(Л) +

Р(Л) =

Р ( £ ) =

1.

Таким образом,

Р ( Л ) = 1 - Р ( Л ) .

(1)

Если

А 6 А,

В<Ь А и А с В,

то

В = В{А+~А)=ВА

+ ВА = А+{В — А).

Так

как А {В — Л) = 0,

то

Р ( 5 ) =

Р(Л) +

Р ( £ — Л )

и

Р ( В — Л) =

Р(В)— Р(Л).

(2)

бтсюда, в частности, следует,

что

Р(А)<Р(В).

Полученное неравенство

в предположении, что

А с: В,

выра­

жает свойство монотонности вероятностной функции.

Если Л б А,

£ £ А ,

то

А + В = А + (В — АВ).

При

этом А (В — АВ)=0

и В — АВ с: В,

следовательно,

Р(Л + 5 ) =

Р ( Л ) +

Р(В—АВ)

< Р(Л) +

Р(В) .

Рассмотрим последовательности

событий

\Ап) с А

и

\Вп) с А, подчиненные

условиям:

А%

с

Л2

cz . . . с Л„ с . . . ,

(4)

5 г

=) 5,

з . . . з

з . . . .

(5)

Положим

л=2л„,

в=Пвп.

(6)

л=1

п=1

довательно, согласно аксиоме

аддитивности

Р(Л) =

Р ( Л , ) +

2 Р ( Л л + 1 - Л „ ) .

л=1

А „ ) =

Так как

Л „ с Л л +

1 ) то

Р(Л„+ )

-

Р ( Л л + ] ) - Р ( Д )

и

оо

р (Л) = Р (л,) + 2 [Р (ля+1) -

Р (лп)],

т. е.

Р(Л) =

11тР(Л„).

(7)

л->со

Что касается

последовательности (5),

то, применив

полу­

ченный

результат

к противоположным

событиям

B~i с

Д> с

• • • с

с

• • •,

получим

равенство

Р (

2 Bn)

=

\\mP(B„),

^

/7=1

^

Л-»-СО

но по принципу

двойственности

со

2 вп

= в

л =1

и так

как Р (ВП)

=

1 - Р (£„).

Р(В)=

1 — Р(В),

то

Р ( 5 ) =

11тР(5л ).

(8)

В

частности,

если

последовательности

(4) и

(5) таковы,

что

со

со

2А , = £.

П В „ = О ,

то

л=1

л=1

Н т Р ( Л л ) =

1,

Н т Р ( Д я ) =

0.

(9)

СВОЙСТВО вероятностной функции Р(Л), выраженное ра­

венствами (7) и (8) в предположениях (4), (5)

и

(6), назы­

вается

непрерывностью.

Р (Л)

в смысле

Фреше.

Пусть Л ь

А%,...,

АП,...—

произвольное

счетное

множество

событий из

А. Из

соотношений

оо

оо

Р ( 2 А . ) <

2 Р(А„).

(Ю)

4 л=1

у

л=1

Сумма

ряда

в

правой

части

неравенства

(10) может

быть

бесконечна.

§ 6. Классическое поле вероятностей

Поле

вероятностей

(А,

Р)

назовем

классическим,

если

А

содержит

конечное

число

п

событий

£ ь . . . , Еп,

таких,

что

А£А{Аф

О) есть сумма

1)

любое

вида

A = Eh

+

•••

+ £ l | f l ( l < f , <

• • • < » „ , < * ;

l < m < n ) ;

(1)

2)

Е\

+ ...

+

£• „ =

Е

(достоверное

событие);

3)

Е\,...,Е„

попарно

несовместны;

4)

Р

(

k

=

l

п).

Таким

образом,

А

есть конечное

множество,

состоящее

из

2" событий: О, Еи ...

, Еп,

£, + Е2,

...

, Еп_х 4- Е„,

Et +

+ Е2-\-

Е3, ...

, Et-\-

• • • + Е„ =

Е.

Оно, очевидно,

является

а-алгеброй.

Его элементы Ei,...,

Еп

называются элемен­

тарными

событиями.

Условия

1, 3

и 4

однозначно

определя-