Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.08.2024
Просмотров: 53
Скачиваний: 1
м |
м |
pi = j |
\x — ak \3рк (х) dx = j (* — aA,)21 -v — ак \ pk (x) dx < |
-M |
-M |
|
M |
- Л 1
Следовательно,
f - < (2Aa)3 6„ 3 |
(n = 1, 2, . . . ). |
(25) |
ул
Впредположении (23) из (25) следует, что
|
|
|
|
|
lim |
-J2. = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
Если же 6„ |
ограничены |
сверху, |
то |
отношения |
cjb„, |
очевид |
||||||||
но, к нулю не стремятся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Заметим, |
|
что условие |
(23) |
в сочетании |
с |
неравенства |
|||||||
ми |
(24) означает, |
что при больших |
п дисперсия |
|
а£ |
каждого |
||||||||
из |
слагаемых |
Х\,... |
,Х„ |
составляет |
лишь |
малую |
долю дис |
|||||||
персии суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k-l |
|
я=1 |
|
|
|
|
|
||
|
В заключение сопоставим |
теорему |
Ляпунова с законом больших чи |
|||||||||||
сел. |
Известно, |
что, каковы |
бы ни были |
случайная |
величина |
Z |
и последо |
|||||||
вательность положительных |
чисел |
{ул}. сходящаяся к |
нулю, |
непременно |
||||||||||
(l„ 1) (вер.) |
0 |
(см. § 50 |
задача |
6). Покажем, |
что |
если |
|
Zn—случай |
ные величины, законы распределения которых сходятся к закону рас-
пределешш |
некоторой |
случайной |
величины |
Z |
и |
П т у л = 0 |
(уп |
> 0 , |
||||||
п = 1 , 2 , . . . ) , |
то |
(ул 2 „ ) |
(вер.) - |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть F(z)—функция |
распределения случайной |
величины |
Z. |
Фикси |
||||||||||
руем произвольные Е > 0 , Т)>0 и выберем |
такие |
точки z < 0 |
и |
г > 0 , |
||||||||||
в которых F(z) |
непрерывна и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F(2)<-1., |
|
1 — F ( i ) < _3_ . |
|
|
|
|
(26) |
|||||
Далее возьмем такой номер Nit |
чтобы |
при |
всех |
n>N\ |
выполнялись |
не |
||||||||
равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— < г, |
— |
> z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7л |
- |
7л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И такое N>Ni, |
чтобы при всех |
n>N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(Z„ < z ) = |
F(z) + |
^ , |
P(Z „ <7) = |
F (z) + |
V |
|
|
|
105
где
Для таких значений п будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Р (I lnZn |
I > е) = Р |
^ |
| 2„ | |
> _ L ^ = |
Р ^ |
Z„ |
< - |
_ i |
- ) + |
||||||
|
|
|
+ p ^ z „ > |
_ L - ^ < P(Z„ < 2) +• P(Z„ >7) |
= |
|
|||||||||||
|
|
= |
P ( Z „ |
< 2) + [ l - P ( Z „ |
< ! ) ] |
= f ( z ) |
+ r;,; |
+ |
|
||||||||
|
|
+ \\-F(7)~ |
rfn]=F(z) |
+ |
[i - |
F (5)] |
+ |
- T,;, |
|
||||||||
откуда в силу |
(26) |
п |
(27) |
будут |
следовать |
неравенства: |
|
|
|||||||||
|
|
Р (I Т«2П | |
> |
е) < |
Р (2) + |
11 - |
F (7)] |
+ |
К |
| + | 'С | < |
ч . |
||||||
Мы |
доказали, |
что |
последовательность |
li„Zn} |
сходится |
по |
вероятности |
||||||||||
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теперь предположим, что последовательность взаимно независимых |
||||||||||||||||
случайных величин (I) удовлетворяет условиям |
теоремы |
Ляпунова и, |
|||||||||||||||
кроме |
того, условию |
Маркова |
(см. § 49 |
формула |
(11)). Последнее в при |
||||||||||||
нятых |
нами обозначениях может |
быть |
записано |
в |
виде |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
h . |
= 0. |
|
|
|
|
|
(28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п-мх> |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
этом законы |
распределения |
последовательности |
нормированных сумм |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-^^(Хк-аи) |
|
|
( я = 1 . 2, . |
. . ) |
|
|
сходятся к нормированному гауссовскому закону, тогда как последова
тельность средних |
арифметических |
|
|
\ |
п |
b |
1 п |
в силу условия (28) |
сходится по вероятности к нулю. |
Таким образом, для взаимно независимых случайных величин при условии (28) закон больших чисел представляет собой простое следствие
центральной предельной |
теоремы. |
|
|
|
|
|
|
||
|
§ 58. Производящая функция неотрицательной |
||||||||
|
целочисленной |
случайной |
величины |
|
|||||
Предположим, что X — дискретная |
случайная |
величина, |
|||||||
принимающая значения 0, 1, 2 , . . . , k,... |
соответственно с ве |
||||||||
роятностями ро, |
ри |
р2, • • •, |
Рк> |
Производящей |
функцией |
||||
такой случайной |
величины |
называется |
функция комплексно |
||||||
го переменного s,определяемая |
|
формулой |
|
|
|||||
|
Ф(*) = |
Ро + P i s + |
P2S2 |
+ • • • + |
pksk |
+•••• |
(1) |
||
Радиус |
сходимости |
степенного |
ряда (1) |
не |
меньше |
единицы, |
|||
так как |
=2pf t = |
l. Далее, |
сравнив |
ty(s) |
с характеристи |
к а
ческой функцией той же случайной величины (см. § 51 фор мула (3))
|
|
< Р ( 0 = |
2 |
е"'Рк, |
замечаем, что |
|
|
|
|
|
|
<р(0 |
= |
Ф(е")- |
Отметим важное |
свойство |
производящих функций: если |
||
Х\,...,Хп |
— взаимно |
независимые целочисленные неотрица |
||
тельные |
случайные |
величины, |
то производящая функция их |
суммы равна произведению производящих функций слагае мых. Достаточно рассмотреть случай двух слагаемых. Пусть
P(X=j)=P/ |
(j=0, 1, 2, ... ), P(Y=k)=rPfl(k=0, |
1, |
2,...) |
и Z=X-\-Y\ |
так как X и Y независимы, то (см. § 23 |
форму- |
|
ла (5)) |
|
|
|
P„ = P ( Z = n)=2p«pn_ft |
(л = 0, 1, 2, . . .) |
||||||
и |
|
л |
|
|
|
|
|
оо |
оо |
оо |
оо |
|
|
|
|
2 pnsn |
=2 |
(2 р*Рп-н)sn=2 |
р*s* |
2 PI S'- |
|
||
л=0 |
л=0 Я=0 |
е-0 /=0 |
|
|
|
||
§ 59. Характеристическая функция |
векторной |
||||||
|
|
случайной величины |
|
|
|
||
Характеристической функцией случайного вектора U[X, У} |
|||||||
называется функция |
|
|
|
|
|
|
|
q>{s, t) = !AWx+tr>) |
( - оо < s, t < + |
со) |
(1) |
||||
действительных |
переменных |
s, t. |
Перечислим |
без |
доказа |
тельства некоторые свойства характеристических функций, ограничившись для простоты двумерными случайными векто рами.
Функция |
cp(s, t) |
непрерывна |
на плоскости |
s, t; |
она при |
нимает значение 1 при s = / = 0 , |
при всех s, t |
|<p(s, |
/ ) | < 1 |
||
и ф(—s, —t)=<p(s, |
t). |
|
|
|
|
Далее |
|
|
|
|
|
|
<p(s, |
0)=<?x(s), |
ср(0, *) = ?,,(/); |
|
|
если X и У независимы, то |
|
„ у |
|||
положив s=t, |
получим |
|
|
|
|
|
|
9(t, t)~9x+r{t). |
|
(2) |
107
Если U имеет компоненты Л", У, а V —компоненты аЯ"+р\ У'У +б, где а, р\ Y> б — постоянные, то
cp7 (s, 0 = е ' < ^ + 5 ' ) ; с р ^ ( а 5 , Tf). |
(3) |
Следующая теорема позволяет по заданной характеристи ческой функции (1) однозначно восстановить закон распре
деления случайной |
величины U{X, |
У ) : каковы бы ни были а, |
||||
Ь, с, d (а |
< Ь, с < |
d), при |
которых |
Р[ {X = |
а) (с < |
У < о')] = |
= Р [ ( * = |
6) (с < Г < d)] = |
Р [(а < X < Ь) {У = с)] = |
Р [(a |
|||
< 6 ) ( y = |
d)]==0, |
|
|
|
|
|
|
Р\[{а^Х<Шс<У |
<b)} |
= |
|
АА
= |
П т |
\ |
\ |
: |
Z |
<?{s,t)dsdt. |
|
|
— A |
—A |
|
|
|
Для характеристических функций случайных векторов справедливы предельные теоремы, подобные теоремам § 55.
§60. Задачи к главе 6
1.Вычислить характеристические функции дискретных случайных ве личин, приведенных в § 20.
|
О т в е т : |
е ш |
\ |
pelt + q; (ре'7 |
+ |
q)n; |
ех (е" |
~ 1 ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2. |
|
Вычислить |
характеристические |
функции |
|
непрерывных |
случайных |
||||||||||||||||
величин, приведенных в § 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
О т в е т : |
_ _ £ _ _ _ £ _ ; е |
|
|
|
р |
; |
|
- |
: е |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
it (Ь — а) |
|
|
|
|
|
|
a — |
it |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
У к а з а н и е . |
В случае распределения Коши проверить при помощи |
||||||||||||||||||||||
формулы |
(4) |
§ 53, |
что |
характеристическая |
функция |
е—\'\ |
соответствует |
|||||||||||||||||
плотности |
вероятности |
n _ |
1 ( l + * 2 |
) _ I |
; |
в |
общем |
случае воспользоваться |
фор |
|||||||||||||||
мулами |
(14) § 36 |
и |
(11) |
§ |
51. |
|
В |
случае |
распределения Гаусса |
положить |
||||||||||||||
сначала |
а = 0 , |
0 = 1 , |
|
затем |
воспользоваться |
теми |
же |
формулами. |
|
|||||||||||||||
|
3. Вычислить характеристическую функцию случайной величины, имею |
|||||||||||||||||||||||
щей |
плотность вероятности |
р{х) |
|
= |
|
|
е |
|
|
' (а |
> 0). |
|
|
|
|
|||||||||
|
О т в е т : |
а2 |
+ Р- |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Является ли ф(£) =sin(ft<)/(M) |
|
( Л > 0 ) |
характеристической |
функ |
|||||||||||||||||||
цией? Какого |
распределения? |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
О т в е т : |
ф ( с ) = |
Ф л ' 0 > |
г д |
е |
распределена |
равномерно на отрезке |
|||||||||||||||||
[ - k |
' h ] |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
При |
каком |
условии, |
налагаемом на неотрицательные коэффициенты |
|||||||||||||||||||
|
а.\, |
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
kt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а0 , |
|
|
|
. . . |
ф(0 = |
2 |
|
ад |
cos |
является |
характеристической |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функцией? |
Какого |
распределения? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
О т в е т : |
при |
a o + a i + а И |
|
= |
|
1 |
ф ( 0 |
есть |
характеристическая |
функ |
|||||||||||||
ция |
целочисленной |
случайной |
|
величины |
X, |
для |
которой |
Р(Х=0) |
=а0, |
|||||||||||||||
P(X=k)=P(X=-k) |
|
|
|
= |
-£* |
( Л = 1 , |
2 , . . . ) . |
|
|
|
|
|
|
|
108
6. |
Доказать при помощи |
характеристических функций, что |
сумма |
|
двух |
независимых |
случайных |
величин, распределенных по закону |
Гаусса, |
также |
распределена |
по закону |
Гаусса. |
|
7.Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, рас пределенных по закону Пуассона, также распределена по закону Пуас сона.
8.В предположении, что случайная величина X имеет математическое
ожидание |
и |
дисперсию, |
выразить ЩХ) |
и |
D(A') через |
характеристиче |
|
скую функцию. |
|
|
|
|
|
||
О т в е т : |
ЩХ) = — «p'(0), D(X) = |
[ср'(0)]2 — <р"(0). |
|||||
9. Вычислить производящую функцию случайной величины, распре |
|||||||
деленной |
(а) |
по |
биномиальному закону, |
(б) |
по закону |
Пуассона. |
|
О т в е т : |
a) |
(ps+q)n, |
б) e 4 s ~ l ) . |
|
|
|
|
10. Выразить математическое ожидание и дисперсию (в предположе |
|||||||
нии, что они |
существуют) неотрицательной |
целочисленной случайной ве |
|||||
личины через ее производящую функцию. |
|
|
|||||
О т в е т : |
ЩХ) = г|/(1), D(* ) = гр"(1)+i|>'(l) — [г|/(1)] 2 . |
||||||
11. X—неотрицательная |
целочисленная |
случайная |
величина, i|>(s)— |
ее производящая функция. Вычислить производящие функции случайных
величин |
Y=X+m, |
Z=2X, |
|
U = mX |
(т — фиксированное |
|
целое |
|
положи |
||||||||||||||||
тельное число). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
О т в е т : |
tyy |
(s) = sm |
<\> (s), ifz (s) = |
(s»), ifv |
(s) = |
<|> (sm ). |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
12. X, |
Y — независимые |
неотрицательные |
целочисленные |
|
случай |
||||||||||||||||||
ные |
величины; |
|
tyx |
(s), |
|
y ( s ) — и х |
производящие |
функции. |
Показать, |
||||||||||||||||
что для любого целого п |
вероятность Р(Х—Y |
= |
п) |
равна |
коэффициен |
||||||||||||||||||||
ту при s" |
в разложении |
по степеням s функции |
\ | ) ^ (s )ify (s—'). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
13. Дана |
последовательность |
взаимно |
независимых |
случайных |
вели |
|||||||||||||||||||
чин |
X ь, подчиняющихся |
закону |
Гаусса |
с |
параметрами |
ЩХь) |
= 0 и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&{Xk)=Ok- |
|
Выяснить |
поведение |
суммы |
У„ = S Xk |
при п *оо в |
предпо- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ложении, |
что ряд |
Е |
о | |
а) |
сходится, б) |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
О т в е т : |
в |
случае |
а) |
законы |
распределения |
Yп |
сходятся |
к |
нормаль- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 и а2= |
оо |
°\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ному |
закону |
с параметрами |
£ |
; |
в случае |
б) |
|
не |
существует |
||||||||||||||||
предельного |
закона. |
|
|
|
|
|
ft=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться |
теоремами |
§ 55; |
в |
случае |
б) |
последо |
|||||||||||||||||
вательность |
If |
у |
(t)} |
сходится к разрывной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Проиллюстрировать предельные теоремы теории характеристиче |
|||||||||||||||||||||||
ских |
функций |
на следующих |
примерах (1) — (4). В этих |
|
примерах Fn (*) |
||||||||||||||||||||
и |
<Рл (0 — функция |
распределения |
и |
характеристическая |
функция |
случай |
|||||||||||||||||||
ных величин Х„ (ге=1, 2 , . . . ) ; ^(д;) |
и |
q>(t)—функция |
|
распределения и |
|||||||||||||||||||||
характеристическая функция |
случайной |
величины |
X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
* |
С*-")3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Fn М |
= |
"п1 |
|
|
2 |
5 е |
2"" |
d x ' г |
д е |
" т |
а л = 0 ; показать, |
что |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn |
(х)Е(х |
|
— а)(х |
Ф а) и ср„ (t) -* еЫ при п |
со; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2) Х„ |
распределены |
равномерно |
на отрезках |
[ с — h n , |
с + Л„], |
где |
||||||||||||||||||
0 < Л„ -+ 0 (п -* оо); показать, что Fn |
(х) ->- Е (х — с) (х ф с) |
и ч>„ (i) |
-* e l c t |
||||||||||||||||||||||
при |
n -1- со; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109